3.1 拽物线和拽物线滤波器
3.1.1 拽物线
拽物线［47］是一条平面曲线（见图3-1），其方程为:
图3-1 拽物线
拽物线有下述微分与积分性质：
•在区间[-σ，σ]内除中心外，拽物线有任意阶连续导函数并且不难计算：
这是拽物线的微分方程。
•令P（x0，y0）是拽物线上的任一点， Q是P点的切线与t轴的交点，则P点与Q点之间的距离：
因此，拽物线上任一点沿该点切线到t轴的距离总是等于σ。
•拽物线在区间［-σ,σ］上（绝对）可积与平方可积，并且有：
即拽物线与 x轴围成的面积是半径为f（x）的圆的面积的一半。
•由性质3，拽物线与任何有界函数的f（x）的卷积总存在：
3.1.2 拽物线滤波器
根据拽物线性质4，拽物线可作为一维连续信号滤波器的核函数。但是，拽物线在中心处的值为无穷大，具有冲激效应，如果直接将拽物线作为一维信号滤波器的核函数，其响应信号与原信号基本相同，不能获得理想的滤波效果。为了使得拽物线具有滤波性能，我们必须补充定义拽物线在中心处的值。为此，可以通过下述方式来实现：选取一个充分小的中心对称区间［-ε,ε］和一个关于中心对称的光滑曲线q，使得拽物线和曲线q在区间的两个端点处能光滑拼接。在这里，我们选择q为双二次函数：
使得它与拽物线在两个端点ε和-ε处有相同的值和相同的1、2阶导数，即满足下述约束:
如果式（3-7）得到满足，则必然有：
由于拽物线t（x）与双二次曲线q（x）都是关于y轴对称的，只需在x＞0时求解方程组（3-7）即可。x＞0时，拽物线的各阶导数为：
x＞0时，双二次曲线的各阶导数为：
将式（3-9）~式（3-12）带入方程组（3-7）可得：
从式（3-13Ⅱ、Ⅲ）中消去b可得：
整理可得：
将式（3-15）带入式（3-13Ⅱ）中整理，可得：
将式（3-15）和式（3-16）带入式（3-13Ⅰ），整理可得：
确定了a,b,c后，我们就确定了一个双二次函数q（x），它能与拽物线在区间［-ε,ε］的两个端点处进行光滑拼接。令
对T（x）进行归一化可得：
式中，
是归一化常数。
以式（3-19）为核函数的滤波器称为1D拽物线滤波器，记为TF。对任何一维信号f（x），滤波器TF的响应信号是核函数（3-19）与f（x）卷积：
在滤波器TF中，有两个可供调节的参数：σ和ε。σ称为尺度参数，它决定了核函数的支撑区间的大小；ε称为边缘控制参数（这里，1D信号的“边缘”是指信号的尖点或具有较大曲率的点），它决定了响应信号保持原信号边缘的能力。当ε固定时， σ越大响应信号
越平滑；当σ固定时， ε越小响应信号保持边缘的能力越强 （见图3-2）。
图3-2 拽物线滤波器TF（σ=1）
a）ε=1/5 b）ε=1/10 c）ε=1/100
3.1.3 离散拽物线滤波器
对于数字信号的滤波，需要离散滤波器。由3.2.2节的连续型拽物线滤波器，我们可以构造相应的离散拽物线滤波器。令{TFjj=1,2,…，N+1}是来自核函数TF（x）在区间［-σ,σ］的抽样，以它为模板的离散滤波器称为离散型拽物线滤波器。对任何一维离散信号{f（i）i=0,±1,±2,…}，离散滤波器TF的响应信号是TFj与fj离散卷积：
式中，
是归一化常数。
离散滤波器TF的模板TFj取决于抽样方式，在本章中我们以均匀抽样的方式来构造模板，即在区间［-σ,σ］上等步长抽取核函数TF（x）的2N+1个点形成序列作为模板TFj：
3.1.4 模拟实验
实验目的是检验1D拽物线滤波器的平滑噪声能力和保持信号边缘能力，并与高斯滤波器进行比较。拽物线滤波器的核尺度取σ=1，边缘控制参数ε分别取10-1，10-2，10-3。离散模板TFi是来自于TF（x）在区间［-1，1］上的均匀抽样（步长为1/25）：TFi=TF（（i-12-1）*25）。我们取两个高斯滤波器与之比较：
1）高斯滤波器的核尺度被选择为使得其中，心处的值等于拽物线滤波器中心处的值（称作等高高斯滤波器）。
2）高斯滤波器的核尺度被选择为伪球滤波器的尺度参数的1/3（高斯函数在3倍方差处衰减至e-4.5≈0.011，此时高斯函数和伪球函数几乎具有相当的宽度，此滤波器称作等宽高斯滤波器）。
三个核函数的形状对比如图3-3所示。实验中，所使用的离散信号来自于下面连续信号在区间［-8，8］的均匀抽样（步长为1/25，如图3-4a中红色虚线所示）：
g（x）=xsin（3πx/2）/2
实验中加入均值为0、方差为0.1高斯噪声，如图3-4a黑色实线所示。
如图3-4所示为实验结果。图3-4b～h中红色虚线表示原始信号，黑色实线表示不同滤波器对加噪声后的信号进行滤波的结果：图3-4c～e分别是参数为ε=0.1，0.01，0.001时伪球滤波的结果，图3-4f～h是对应的三个等高高斯滤波的结果，图3-4b是对应的等宽高斯滤波的结果。其中，error表示滤波后的信号与原始信号在极值位置 （边缘）处的绝对误差的平均值，用于衡量滤波器的边缘保持性能。可以看出：
图3-3 实验中三个滤波器核函数形状对比
a）伪球函数 b）等高高斯函数 c）等宽高斯函数
1）拽物线滤波器的边缘控制参数越小，平滑噪音的能力越差，保持边缘的能力越强。
图3-4 拽物线滤波器与高斯滤波器的比较
a）b）error=0.9647 c）error=0.3893 d）error=0.3677
图3-4 拽物线滤波器与高斯滤波器的比较（续）
e）error=0.3576 f）error=0.3814 g）error=0.3911 h）error=0.4845
2）相对于等高高斯滤波器，拽物线滤波器具有更好的噪声平滑性能。
3）相对于等宽高斯滤波器，拽物线滤波器具有更好的边缘保持性能（相对原始信号边缘处的损失error小）。
本实验表明拽物线滤波器在噪声平滑和边缘保持两个矛盾的方面具有更好的性能表现。