立方体的8个顶点

在下图所示立方体的8个顶点上标出1～9中的8个数字，使得每个面上4个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。

答案：设未被标出的数为a，则被标出的8个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于3个面，所以6个面的所有顶点数字之和为

6k＝3×（45－a）

2k＝45－a

2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。

若a＝1，则k＝22；

若a＝3，则k＝21；

若a＝5，则k＝20；

若a＝7，则k＝19；

若a＝9，则k＝18。

因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。

由于每个面上4个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外3个顶点数之和应等于10。在1、2、3、4、5、6、8中，3个数之和等于10的有3组：

10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5

将这3组数填入9所在的3个面上，可得下图的填法。