§3　向量的内积

有关长度、角度、垂直等的度量问题如何利用向量来解决？从力学中知道，若力F使质点A位移S，则F做的功W为

其中F1是F沿S方向的分力，α是F与S的夹角（如图1.17）.在求功W的式子里出现了向量的长度、两向量的夹角.从这一物理背景受到启发，为了解决有关长度、角度的问题，需要考虑类似于功W那样的数量，它是由向量F和S确定的.由于求功W的第一步是求分力F1，所以先来考虑类似于分力F1那样的向量.

3.1　射影和分量

几何空间V中，给了一个单位向量e，过点O作直线l，其方向向量为e；过点O作一个平面π与l垂直，在平面π上取两个互相垂直的单位向量e1，e2，如图1.18所示，则[O；e1，e2，e]是几何空间V的一个直角坐标系.于是，任给向量a，它可以唯一地分解成

a=xe1+ye2+ze=a2+a1，（3.1）

其中a2=xe1+ye2，a1=ze.

可见a2⊥e,a1与e共线.我们把a1称为a在方向e上的内射影（也称a1是a在方向向量为e的轴l上的正投影），记作Pe（a）；把a2称为a沿方向e下的外射影.

命题3.1　对于几何空间中任意向量a,b，任意实数λ，有

证明　设a=a1+a2，其中a1与e共线，a2⊥e，又设b=b1+b2，其中b1与e共线，b2⊥e，则

a+b=（a1+a2）+（b1+b2）=（a1+b1）+（a2+b2）.

由于a1，b1都与e共线，因此（a1+b1）与e共线.因为a2⊥e,b2⊥e，所以a2都在过点O与直线l（其方向向量为e）垂直的平面π内，从而a2，b2+b2也在平面π内.于是（a2+b2）⊥e.因此a1+b1是a+b在方向e上的内射影，从而

Pe（a+b）=a1+b1=Pe（a）+Pe（b）.

由于λa=λa1+λa2，且λa1与e共线，（λa2）⊥e，因此

Pe（λa）=λa1=λPe（a）.

由于a在方向e上的内射影a1与e共线，因此存在唯一的实数μ，使得a1=μe.把这个实数μ称为a在方向e上的分量，记作　Ⅲe（a）.

命题3.2　几何空间中任一向量a在方向e上的分量为

其中〈a,e〉表示向量a与e之间的夹角.

证明　用μ表示　Ⅲe（a），则a1=μe.于是|a1|=|μ|.

情形1　a1与e同向，如图1.18所示，则μ＞0，且0≤〈a,e〉＜π/2，从而

情形2　a1与e反向，则μ＜0.此时π/2＜〈a,e〉≤π，从而

因此

μ=|a|cos〈a,e〉.

情形3　a1=0.此时μ=0，且a⊥e，于是仍有

μ=|a|cos〈a,e〉.

从内射影和分量的定义立即得到

命题3.3　对几何空间中任一向量a，有

Pe（a）=Ⅲe（a）e.

从命题3.1，命题3.2和命题3.3可得出

命题3.4　对于几何空间中任意向量a,b，有

证明　由于

Pe（a+b）=Pe（a）+Pe（b），Pe（a+b）=Ⅲe（a+b）e，

因此

Ⅲe（a+b）e=Ⅲe（a）e+Ⅲe（b）e=（Ⅲe（a）+Ⅲe（b））e，

从而

Ⅲe（a+b）=Ⅲe（a）+Ⅲe（b）.

由于Pe（λa）=λPe（a），Pe（λa）=Ⅲe（λa）e，因此

Ⅲe（λa）e=λ　Ⅲe（a）e，

从而

Ⅲe（λa）=λ　Ⅲe（a）.

3.2　向量的内积的定义和性质

类似于功那样的数量，我们引进向量的内积的概念.

定义3.1　两个向量a与b的内积（记作a·b）规定为一个实数：

若a与b中有一个为0，则a·b：=0.

若b≠0，则由（3.4）式和（3.7）式得

（3.8）式表明了向量的内积与分量的关系.

由（3.7）式可得

（3.9）式和（3.10）式表明，可以利用向量的内积来解决有关长度和角度的问题.

由定义3.1可得到：a⊥b的充分必要条件是a·b=0.

定理3.1　对于任意向量a,b，c，任意实数λ，有

（1）a·b=b·a（对称性）；

（2）（λa）·b=λ（a·b）（线性性之一）；

（3）（a+c）·b=a·b+c·b（线性性之二）；

（4）a·a≥0，等号成立当且仅当a=0（正定性）.

证明　由定义3.1立即得到

a·b=b·a.

由（3.8）式，（3.6）式和（3.5）式得

由定义3.1立即得到：若a≠0，则a·a=|a|2＞0；若a=0，则a·a=0.

由内积的对称性和线性性还可得到

a·（λb）=λ（a·b），

a·（b+c）=a·b+a·c.

例3.1　证明：三角形的三条高线交于一点.

证明　设△ABC的两条高线BE,CF交于点M，连接AM（如图1.1 9）.因为B E⊥A C，所以即

亦即

因为CF⊥AB，所以从而

于是有即这表明AM⊥BC.延长AM与BC交于D，则AD为BC边上的高.所以△ABC的三条高线交于一点M.

3.3　用坐标计算向量的内积

首先取一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，设a,b的坐标分别是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，则

可见，只要知道基向量d1，d2，d3之间的内积（9个数，实质上只有6个数）就可以求出任意两个向量的内积.这9个数称为仿射标架[O；d1，d2，d3]的度量参数.

现在设[O；e1，e2，e3]是直角标架，则有

于是由（3.11）式得到

a·b=a1b1+a2b2+a3b3.（3.12）

因此有

定理3.2　在直角坐标系中，两个向量的内积等于它们的对应坐标的乘积之和.

由定理3.2即知，向量a（a1，a2，a3）T的长度为

两点A（x1，y1，z1）T，B（x2，y2，z2）T之间的距离为

注意（3.12），（3.13），（3.14）三个式子只在直角坐标系中才成立.

3.4　方向角和方向余弦

在直角坐标系中，还可以用向量a与基向量的内积来计算a的坐标.设a在直角标架[O；e1，e2，e3]中的坐标为（a1，a2，a3）T，则有

a=a1e1+a2e2+a3e3.

上式两边用e1作内积，得

a·e1=a1.

同理可得

a·e2=a2，a·e3=a3.

这说明向量a与基向量ej的内积就是a的第j（j=1，2，3）个直角坐标.

特别地，单位向量a0的直角坐标为

我们把一个向量a与直角标架中的基向量e1，e2，e3所成的角α，β，γ称为方向a^[1]的方向角，把方向角的余弦cosα，cosβ，cosγ称为方向a的方向余弦.由上述知，a的方向余弦就等于单位向量a0的直角坐标，从而有

cos2α+cos2β+cos2γ=1.（3.15）

习题　1.3

1.已知|a|=3，|b|=2，〈a,b〉=π/6，求3a+2b与2a-5b的内积.

2.设OABC是一个四面体，∠AOB=∠AOC=π/3，∠BOC=π/6，P是AB的中点，M是△ABC的重心求

3.证明下列各对向量互相垂直：

（1）直角坐标分别为（3，2，1）T和（2，-3，0）T的两个向量；

（2）a（b·c）-b（a·c）与c.

4.证明：

5.证明：对任意向量a,b，都有

当a与b不共线时，说明此等式的几何意义.

6.下列等式是否正确？

（1）|a|a=a·a；

（2）a（a·b）=（a·a）b；

（3）（a·b）2=（a·a）（b·b）；（4）（a·b）c=a（b·c）.

7.在直角坐标系中，已知a,b，c的坐标分别为（3，5，7）T，（0，4，3）T和（-1，2，-4）T，设

u=3a+4b-c,v=2b+c，

求u·v，|u|，|v|和〈u,v〉.

8.已知△ABC的顶点A,B，C的直角坐标分别为（2，5，0）T，（11，3，8）T，（5，11，12）T，求各边和各中线的长度.

9.已知△ABC的顶点A,B，C的直角坐标分别为（2，4，3）T，（4，1，9）T，（10，-1，6）T，证明：△ABC是直角三角形.

10.证明：三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的3/4.

11.证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.

12.证明：如果一个四面体有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也必垂直，并且三对对棱的长度的平方和相等.

13.设向量a的直角坐标为（1，2，-2）T，求方向a的方向角和方向余弦.

14.判断下述推断是否正确：若a·c=b·c，且c≠0，则

a=b.

15.证明：设三个向量a,b，c不共面，如果向量x满足

x·a=0，x·b=0，x·c=0，

则x=0.

*16.证明：三向量a,b，c共面的充分必要条件是