§5　向量的混合积

5.1　向量的混合积的几何意义和性质

如何利用向量来计算几何体的体积？由于计算几何体的体积可以归结为计算平行六面体的体积，因此我们来讨论平行六面体ABCD-A′B′C′D′（如图1.28）.设则底面积为|a×b|，高为其是c在方向（a×b）0上的内射影.因此

从而平行六面体的体积为

a×b·c称为向量a,b，c的混合积.上述表明，|a×b·c|表示以a,b，c为棱的平行六面体的体积.若a×b·c＞0，则夹角〈a×b,c〉为锐角，由于（a,b，a×b）构成右手系，于是（a,b，c）此时也构成右手系.由类似的讨论知，若a×b·c＜0，则（a,b，c）构成左手系.因此a×b·c的正负可判断（a,b，c）是右手系还是左手系.若在平行六面体的同一顶点上的三条棱之间规定好一个顺序（a,b，c），则称这个平行六面体的定向为（a,b，c）.对于定向平行六面体，可以给它的体积一个正负号：如果它的定向（a,b，c）构成右手系，则它的体积规定为正的；如果它的定向（a,b，c）构成左手系，则它的体积规定为负的.这叫作定向平行六角面体的定向体积.于是，混合积a×b·c表示了定向为（a,b，c）的平行六面体的定向体积.

由混合积的几何意义立即得到

命题5.1　三个向量a,b，c共面的充分必要条件是

a×b·c=0.

混合积有以下两条常用的性质：

（1）a×b·c=b×c·a=c×a·b；

（2）a×b·c=a·b×c.

证明（1）因为|a×b·c|，|b×c·a|，|c×a·b|都表示以a,b，c为同一顶点上的三条棱的平行六面体的体积，所以它们相等.又因为若（a,b，c）为右（左）手系，则（b,c，a）和（c,a，b）均为右（左）手系，所以

a×b·c=b×c·a=c×a·b.

（2）a×b·c=b×c·a=a·b×c.

性质（2）说明三个有序向量a,b，c的混合积与“×”，“·”的位置无关，因此可把a×b·c记成（a,b，c）.要注意的是，a·b×c仍然是要先作外积b×c，后作内积a·（b×c），反之则没有意义.

5.2　用坐标计算向量的混合积

取一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，设向量a,b，c的坐标分别为（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，则

由于d1，d2，d3不共面，所以d1×d2·d3≠0.于是得到

命题5.2　任意取定一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，设向量a,b，c的坐标分别是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，则

定理5.1　若[O；e1，e2，e3]为右手直角标架，a,b，c的坐标分别为（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，则

证明　因为[O；e1，e2，e3]为右手直角标架，所以e1×e2=e3，从而e1×e2·e3=e3·e3=1.于是由（5.2）式立即得到（5.3）式.□

定理5.1表明，以a,b，c为棱的平行六面体的定向体积等于以这三个向量的右手直角坐标组成的3阶行列式.这是3阶行列式的几何意义.

5.3　三向量（或四点）共面的条件

定理5.2　设向量a,b，c的仿射坐标分别为

（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，（c1，c2，c3）T，

则a,b，c共面的充分必要条件是

证明　由命题5.1和命题5.2立即得到.

推论5.1　设四点A,B，C,D的仿射坐标分别为

（xi，yi，zi）T，i=1，2，3，4，

则A,B，C,D共面的充分必要条件是

这里我们指出，4阶行列式可以沿任意一行（或一列）展开，譬如上述4阶行列式沿第4行展开得

并且4阶行列式也具有类似于2阶，3阶行列式那样的性质.

推论5.1的证明　A,B，C,D共面也就共面从而充分必要条件是

上式左边的3阶行列式等于

最后这个等式成立是因为把左边的4阶行列式的第4列分别加到第1，2，3列上，这时行列式的值不变.综上所述便得到我们所要的结论.

5.4　拉格朗日恒等式及其应用

定理5.3　对任意四个向量a,b，c,d，有

（5.4）式称为拉格朗日（Lagrange）恒等式.

拉格朗日恒等式很有用，有人还称它为二维的勾股定理，这是因为由它可以证出下面例5.1所述的命题.

例5.1　证明：直角三棱锥^[2]斜面面积的平方等于其他三个直角面面积的平方和.

证明　设O-ABC是直角三棱锥，其中∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，△ABC是它的斜面，如图1.29所示.我们有

由此即得所要证的结论.

*5.5　向量代数在球面三角中的应用

设在中心为O，半径为R的球面上，有不在同一大圆弧上的三点A,B，C.分别连接其中两点的大圆围成一个区域，称为球面三角形（如图1.30），其中A,B，C是它的顶点；α，β，γ是它的边，用边所在的大圆弧的弧度来量度.边β与γ所夹的角是指由β与γ分别所在的平面组成的二面角，仍记作A，称为球面三角形的内角.

我们可以用向量法证明球面三角的下述公式：

（1）cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA（余弦公式）；

证明（1）设a,b，c分别是方向的单位向量.显然角A是a×b与a×c的夹角.根据拉格朗日恒等式，有

又有

所以

cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

（2）由二重外积公式得

（a×b）×（a×c）=（a×b·c）a，

（a×b）×（b×c）=（a×b·c）b，

（a×c）×（b×c）=-（a×c·b）c=（a×b·c）c，

所以

由外积的定义可得

sin〈a,b〉sin〈a,c〉sinA=sin〈a,b〉sin〈b,c〉sinB

=sin〈a,c〉sin〈b,c〉sinC，

即

sinγsinβsinA=sinγsinαsinB=sinβsinαsinC.

由此即得正弦公式.

习题　1.5

1.证明：|a×b·c|≤|a||b||c|.

2.证明：若a×b+b×c+c×a=0，则a,b，c共面.

3.在右手直角坐标系中，已知一个四面体的顶点A,B，C,D的坐标分别是

（1，2，0）T，（-1，3，4）T，（-1，-2，-3）T，（0，-1，3）T，求它的体积.

4.证明：（a×b,b×c,c×a）=（a,b，c）2.

5.证明：

（a×b）·（c×d）+（b×c）·（a×d）+（c×a）·（b×d）=0.6.证明：

a×[b×（c×d）]=（b·d）（a×c）-（b·c）（a×d）.

*7.证明：

（1）（a×b）×（c×d）=（a,b，d）c-（a,b，c）d；

（2）（a×b）×（c×d）=（a,c，d）b-（b,c，d）a.

*8.证明：对任意四个向量a,b，c,d，有

（b,c，d）a+（c,a，d）b+（a,b，d）c+（b,a，c）d=0.

9.若x,y与x×y共面，讨论x与y的关系.

10.证明：

[v1×（v1×v2）]×[v2×（v1×v2）]=v1×v22（v1×v2）.

11.证明：若v1与v2不共线，则v1×（v1×v2）与v2×（v1×v2）不共线.

12.设d1，d2，d3不共面，证明：任一向量a可以表示成

13.用向量法证明：若三元一次方程组的系数行列式不等于零，则它有唯一的一个解.

*14.设a,b，c不共面，向量x满足

a·x=f,b·x=g,c·x=h，

证明：