§2　直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离

2.1　直角坐标系中平面方程的系数的几何意义

确定一个平面的条件还可以是：一个点和一个与这平面垂直的非零向量.与一个平面垂直的非零向量称为这个平面的法向量.

取一个直角标架[O；e1，e2，e3].我们来求经过点M0（x0，y0，z0）T且法向量为n（a,b，c）T的平面π的方程（如图2.3）.

点M（x,y，z）T在平面π上的充分必要条件是，从而，于是得

a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）=0，

即

ax+by+cz+h=0，（2.1）

其中h=-（ax0+by0+cz0）.（2.1）式就是所求平面π的方程.

由此可见，在直角坐标系中，平面方程的一次项系数组成的列向量是这个平面的一个法向量n的坐标.

2.2　点到平面的距离

定理2.1　在直角坐标系中，点P1（x1，y1，z1）T到平面

π：Ax+By+Cz+D=0

的距离为

证明　作点P1到平面π的垂线，设垂足为P0（x0，y0，z0）T，则

点P1到平面π的距离为q.平面π的一个法向量为n（A,B，C）T.因为与n共线，所以

（2.3）式的两边用n0作内积得

于是得

（2.3）式中的δ称为点P1到平面π的离差.（2.4）式给出了求离差的公式.

2.3　三元一次不等式的几何意义

取定一个直角坐标系，坐标适合方程

Ax+By+Cz+D=0（2.5）

的点在此方程表示的平面π上，坐标适合不等式

Ax+By+Cz+D＞0（2.6）

的点P（x,y，z）T不在平面π上.设P到平面π引的垂线的垂足为P0，由（2.4）式和（2.3）式知，与n（A,B，C）T同向.因此，所有坐标适合不等式（2.6）的点都在平面π的同一侧（n所指的一侧）.同理，所有坐标适合不等式

Ax+By+Cz+D＜0（2.7）

的点在平面π的另一侧（-n所指的一侧）.

由上述知，平面π把空间中的所有不在π上的点分成了两部分，第一部分点的坐标都适合不等式（2.6），第二部分点的坐标都适合不等式（2.7）.换句话说，若M1（x1，y1，z1）T和M2（x2，y2，z2）T不在平面π上，则M1与M2位于平面π同侧的充分必要条件是

F1=Ax1+By1+Cz1+D与F2=Ax2+By2+Cz2+D

同号.这个结论在仿射坐标系中也成立（见习题2.2的第16题）.

2.4　两个平面的夹角

两个相交平面的夹角是指两个平面交成四个二面角中任一个.易知其中两个等于两个平面的法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉，另外两个等于〈n1，n2〉的补角.两个平行（或重合）平面的夹角规定为它们的法向量n1，n2的夹角或其补角，从而等于0或π.

设在直角坐标系中，平面πi的方程是

Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，

则π1与π2的一个夹角θ满足

从而得到两个平面π1和π2垂直的充分必要条件是

A1A2+B1B2+C1C2=0.（2.8）

例2.1　设在直角坐标系中，平面π1和π2的方程分别是

2x-y+2z-3=0　和　3x+2y-6z-1=0，

求由π1和π2构成的二面角的角平分面方程，已知在此二面角内有点P0（1，2，-3）T.

解　点M（x,y，z）T在所求的角平分面上的充分必要条件是，M到π1的距离d1等于M到π2的距离d2，并且M与P0或者都在π的同侧（i=1，2），或者都在πi的异侧（i=1，2），或者M在π1与πi2的交线上.因为P0的坐标适合

2×1-2+2×（-3）-3=-9＜0，

3×1+2×2-6×（-3）-1=24＞0，

所以M的坐标适合

并且适合

或

整理得23x-y-4z-24=0.这就是所求的二面角的角平分面方程.

习题　2.2

1.在直角坐标系中，求下列平面的方程：

（1）经过点P（-1，2，0）T，一个法向量为n（3，1，-2）T；

（2）经过点M1（3，-1，4）T，M2（1，0，-3）T，垂直于平面

2x+5y+z+1=0.

2.证明：在右手直角坐标系中，通过点（x0，y0，z0）T且与相交平面

A1x+B1y+C1z+D1=0　和　A2x+B2y+C2z+D2=0

都垂直的平面的方程为

3.设在右手直角坐标系中，平面π的方程为

Ax+By+Cz+D=0，

其中所有系数都不为零，此平面与三根坐标轴分别交于点M1，M2，M3，求△M1M2M3的面积和四面体OM1M2M3的体积.

4.在直角坐标系中，求点到平面的距离：

（1）点（0，2，1）T，平面2x-3y+5z-1=0；

（2）点（-1，2，4）T，平面x-y+1=0.

5.在直角坐标系中，求平面

Ax+By+Cz+D=0　与　Ax+By+Cz+D1=0

之间的距离.

6.设在直角坐标系中，平面π的方程为Ax+By+D=0，求z轴到平面π的距离.

7.证明：在直角坐标系中，如果一个平面与三根坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面的距离的倒数的平方.

8.在直角坐标系中，求与平面

Ax+By+Cz+D=0

平行且与它的距离为d的平面的方程.

9.在直角坐标系中，设平面

π1：Ax+By+Cz+D1=0　与　π2：Ax+By+Cz+D2=0平行，求与π1，π2等距离的点的轨迹.

10.在直角坐标系中，求平面z=ax+by+c与Oxy平面的夹角.

11.给定直角坐标系，在有轴平面束

λ（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0

中求出与平面Ax+By+Cz+D=0垂直的平面的方程.

12.设在直角坐标系中，平面πi的方程为

Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，

且π1与π2相交，求π1与π2交成的二面角的角平分面的方程.

*13.求到两个给定平面的距离为定比的点的轨迹.

14.证明：几何空间中满足条件Ax+By+Cz+D＜d2的点分布在两个平行平面

Ax+By+Cz+D+d2=0　与　Ax+By+Cz+D-d2=0之间.

15.证明：几何空间中满足条件x+y+z＜a（a＞0）的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心的距离为a的八面体的内部.*

*16.在仿射坐标系中，设点M1（x1，y1，z1）T，M2（x2，y2，z2）T都不在平面π：Ax+By+Cz+D=0上，且M1≠M2，证明：M1与M2在平面π的同侧的充分必要条件是

F1=Ax1+By1+Cz1+D　与　F2=Ax2+By2+Cz2+D同号.