第9讲　古诺（Cournot）均衡、Bertrand与不完全竞争

1．考虑一个由两家企业组成的寡头垄断行业，市场的需求由给出。这两家企业的成本函数分别为

，。

（1）若两家企业串通追求共同的利润最大化，总的产量水平是多少？市场价格为多少？各自生产多少？各自利润多大？

（2）若两家企业追求各自的利润最大化，利用古诺模型，各自生产多少？各自利润多大？市场价格多大？并给出各自的反应函数。

（3）若串通是非法的，但收购不违法。企业1会出多少钱收购企业2？

解：（1）若两家企业串通时，它们的目标是追求总利润的最大化，则总利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

上述两式无解，说明两家企业串通后只由一家企业生产，不存在两家企业同时生产的情况。

根据两家企业的成本函数可得，。由于两家企业的边际成本为常数，且企业1的边际成本小于企业2的边际成本，所以串通后所有的产量全部由企业1提供，故。则总利润函数变为：

利润最大化的一阶条件为：，解得。

因此两家企业串通后，总的产量水平为；

市场价格为；

企业1的利润为；企业2的利润为。

（2）由已知可得企业1的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：，得企业1的反应函数为：

类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

 

联立两企业的反应函数可以解得古诺均衡时每家企业的产量为：，。

此时市场价格为，两企业的利润分别为，。

（3）企业1对企业2的收购价格不会高于两种情况下的利润差，即。

2．一个垄断企业的平均成本和边际成本为，市场的需求曲线函数为。

（1）计算这个垄断企业利润最大化时的产量和市场价格，以及其最大化的利润。

（2）若又有第二个企业加入该市场，市场的需求不变。第二个企业生产成本和第一个企业相同，在古诺模型下，求各企业的反应曲线、市场价格、各企业的产量和利润。

（3）若有个企业加入该市场，市场的需求不变。这个企业生产成本和第一个企业都相同，在古诺模型下，求市场价格、各企业的产量和利润。

（4）当趋于很大时，市场价格有什么变化趋势？

解：（1）由市场需求函数可得反市场需求函数为，则垄断企业的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得，于是，利润为。

（2）若有第二个完全相同的企业进入市场，并且两个企业进行古诺竞争，那么给定企业2的产量，企业1的利润最大化问题为：

目标函数式关于求导，并令导函数等于零，就可以解得企业1的反应函数为：

类似的方法可以得到企业2的反应函数为：

均衡时有，从而解得，市场价格为21，两个企业的利润均为256。

（3）若市场上有（）个相同的企业进行古诺竞争，记第个企业的产出为，如果企业对其他企业的产量预测为，，那么它的利润最大化问题为：

根据利润最大化问题的一阶条件解得企业的反应函数为（其中，2，…，（））：

①

均衡时，每个企业对其他企业的产量预测都等于其实际产量，即，，2，…，，又因为所有的企业都完全相同，所以均衡时，它们的产量也是相同的，那么①式就变为：

解得：，所以市场总需求为，市场价格为，单个企业利润为。

（4），即当趋向于无穷时，市场价格趋向于5，这正好是完全竞争市场的均衡价格。

3．在世界石油市场上，石油的需求，非欧佩克的供给为，欧佩克的净需求为。

（1）试画出世界石油市场上石油的需求曲线、非欧佩克的供给曲线和欧佩克的需求曲线。为简单起见，设欧佩克的生产成本为零。在图中指出欧佩克的最优价格、欧佩克的最优产量，以及非欧佩克的产量。

（2）若非欧佩克国家石油储量资源开始枯竭，生产成本开始上升，各条曲线会如何移动？

（3）若石油消费国联合起来，形成买方垄断势力，这会对世界石油价格造成怎样的冲击？

答：（1）这是一个价格领导模型，这里欧佩克是价格领导者，非欧佩克的产油国是价格追随者，对于欧佩克而言，它面临的实际需求为世界总的石油需求减去非欧佩克产油国的供应量，即：

　 ①

所以欧佩克的利润最大化问题为：

即：

解得市场油价为，从而全世界对石油的需求为，非欧佩克的产量为

，所以欧佩克的产量为。如图9-1所示，其中点是石油市场的价格，点是非欧佩克的产量，点是欧佩克的产量，点是总产量。

图9-1  石油市场的供给和需求

（2）以价格为纵坐标，若非欧佩克国家的石油储量资源开始枯竭，那么它们的生产成本开始上升，于是非欧佩克国家供给曲线左移，由于世界石油需求不变，所以欧佩克面临的需求曲线右移。

（3）若石油消费国联合起来，形成买方垄断势力，油价会降低。理由如下：如图9-2所示，当买方垄断形成后，双方可以通过谈判来确定石油价格和产量，这时不需要再区分欧佩克和非欧佩克的产油国，因为它们共同作为石油的供应方和需求方谈判。为了方便分析问题，可以假设欧佩克和非欧佩克的产油国的生产成本相同，都是常数。这样，当石油消费国没有联合起来的时候，垄断者选择生产的产量，此时的价格为，消费者和生产者的剩余分别为和，消费者和生产者的总剩余为。当买方联合起来后，双方可以通过谈判，先使得消费者和生产者的总剩余最大化，即产油国生产的产量，然后双方再划分总剩余，这时的约束条件是，买方的剩余不能低于，卖方的剩余不能低于，所以对卖方最有利的谈判结果是卖方获得剩余，相应的最高油价为梯形的面积除以的长度再加上段的长度。但这个价格肯定要低于垄断时的油价（的长度）。

图9-2  买卖双方的谈判对油价产生的影响

4．一个生产榴莲的卡特尔由四个果园组成。它们的总成本函数分别为

（1）用列表的形式列出产量在1至5之间各果园的总成本、平均成本、边际成本。

（2）如果该卡特尔将总产量控制为10，而价格定为25，产量在各果园之间应怎样分配？

（3）在的产量水平和价格下，是否每个果园都没有欺诈的冲动？若有，哪个果园的欺诈冲动最大？

答：（1）如表9-1所示：

表9-1  榴莲生产商的总成本、平均成本和边际成本

（2）从第（1）问的列表中，找出各个边际成本里最小的10个值（用下划线标出，此外在离散情况下，第个产品的边际成本就等于生产第个产品的成本，所以这个方法的实质是要找到生产成本最小的10个产品），那么就可以得到成本最小的产量分配方案为：第1，4个果园分别生产2个榴莲，另外两个分别生产3个榴莲。

（3）只有第2个果园有欺诈的非负激励。因为在第（2）问的产量分配下，第2个果园多生产一单位产品的边际成本为24，比价格水平低1，所以第二个果园增加产量可以带来更多的利润。而其他的果园多生产1单位产品的成本都不会低于市场价格，所以它们没有欺诈的激励。

5．假定有家相同的厂商处于古诺均衡情况下，求证市场需求曲线的弹性一定大于。

证明：设厂商的成本函数为，市场需求反函数为，其中，给定，，那么厂商的利润最大化问题是：

其一阶条件是：

加总所有厂商的反应函数，并利用就有：

整理得到市场需求弹性：

其中，。

6．（价格竞争模型）有两个寡头企业，它们的利润函数分别是，，其中，分别是两个企业采取的价格，、、为常数。

（1）求企业1先决策时的均衡。

（2）求企业2先决策时的均衡。

（3）是否存在某些参数值（，，），使得每个企业都希望自己先决策？

解：（1）给定企业1的价格，企业2选择最大化自己的利润，即：

目标函数式对求导，并令导函数为零，解得，把它代入企业1的利润函数中，得到：

当时，上式的值达到最大，所以均衡的价格为。

（2）用类似于第（1）问的方法，解得均衡价格为。

（3）根据（1）问和（2）问可知，无论谁先决策都不会影响最终的均衡结果，所以不存在这样的参数（，，），使得每个企业都希望自己先决策。

7．对某商品，市场需求曲线为，生产该产品的任何厂商的总成本函数都为。

（1）假设市场上有两个古诺厂商A、B，这两个厂商的反应线分别是什么？求解古诺均衡时的产量。

（2）假设市场上有两个厂商，一个是领导者A，一个是追随者B，求解Stackelberg均衡。

解：（1）记厂商A和B的产量分别为、，，厂商A的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为，可得厂商A的反应曲线为：

  ①

同理，厂商B的反应曲线为：

  ②

达到古诺均衡时，①、②两式同时成立，从而解得古诺均衡的产量：

（2）在Stackelberg模型中，厂商B根据领导厂商A宣布的产量决定自己的产量，然后厂商A根据B的反应函数来确定使得自己利润最大化的产量。根据第（1）问可知，厂商B的反应函数为：。

代入到A的利润函数中，得到：

利润最大化的一阶条件为，得到：。

把代入厂商B的反应函数就得到。

因此，Stackelberg均衡为。

8．考虑一个新开发的市场，该市场每年的需求为。在第一期企业1抢先进入，并以广告的方式进行大量宣传。在它正要进行生产时得知企业2正在定购生产此产品的设备，并通过调查得知企业2的成本函数为

。己知企业1的成本函数为。

（1）如果你是厂商1，你将抢先向社会宣布什么样的生产计划（即产量为多少），这时厂商2会宣布生产多少？

（2）在第二年初出于行业的惯例，两厂商同时发布产量，这时你预计产量会有变化吗？

解：（1）这是一个Stackelberg模型，其中厂商1是领导者，厂商2是追随者，厂商2的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为，可得厂商2的反应函数为：

　 　 ①

把①式代入市场需求函数，就得到了厂商1的产量和市场价格之间的关系：

从而厂商1的利润函数为：

利润最大化一阶条件为，解得，把它代入厂商2的反应函数，得到厂商2的产量。

（2）两厂商同时发布产量这是一个古诺竞争模型，厂商1的利润函数问题为：

由利润最大化的一阶条件，可得到厂商1的反应函数为：

　 ②

联立①式和②式就可以解得古诺均衡的产量为：

9．下列说法对吗？请说明理由。

在垄断竞争行业中，价格竞争的结果可能是Bertrand均衡。

答：这个说法错误。Bertrand均衡的含义在于，如果同行业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格必定使每家企业按的原则来经营，即只获取正常利润。但是，如果两家企业的成本不同，则从长期看，成本低的企业必定挤走成本高的企业。因为Bertrand均衡存在的必要条件之一是商品同质，而垄断竞争模型则假设不同厂商的产品是异质的，因此在垄断竞争行业中，价格竞争的结果不可能是Bertrand均衡。

10．考虑一个垄断竞争市场，其中有101家企业。每家企业所面临的市场需求与各自的成本函数都是相同的：

，

请确定该市场中有代表性的企业（每一家企业的行为都是相同的）的最大利润，相应的价格与产量水平（假定行业中的企业个数不发生变化）。

解：对于任意的厂商，，2，…，101，其利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

  ①

由于每个厂商的成本函数都相同，而且它们的需求函数具有对称的形式，所以均衡时，每个厂商的产量都相等，从而①式可以化为：

即：

解得或。但是当时，，所以它不是最大值，舍去。因此均衡时，每个工厂的产量都是20。此时的市场价格为：

单个厂商的利润为：

11．某一市场需求函数如下

在该市场上只有两家企业，它们各自的成本函数为

（1）在斯塔克博格模型中，谁会成为领导者？谁会成为追随者？

（2）该市场最后的结局是什么？为什么？

解：（1）假设每个企业都有两种选择：①作为领导者，②作为追随者。那么会有如表9-2所示的支付矩阵（表中的收益就是每个厂商在每种情况下的利润），从而可知，每个厂商都偏好于当领导者，因为当领导者的利润总是高于当追随者的利润。

表9-2  厂商1和2的支付矩阵

于是对厂商1而言，它会选择如下的策略来威胁厂商2不要当领导者：假设厂商2率先宣布自己的产量为，那么厂商1可以选择这样的一个产量（不一定是它的利润最大化产量），使得厂商2的利润为负，同时使得自己的利润为正。这就意味着下面两个不等式成立：

即：

　 ①

  ②

同时满足①、②两式的要存在必须当且仅当，即，这就意味着：作为领导者的厂商2的产量不能超过10，否则厂商1总是可以选择某个产量使得厂商2亏损，使得自己盈利。这样给定企业2的产量（），企业1的目标就是：

由一阶条件解得企业1的反应函数为：

  ③

从而企业2的利润最大化问题为：

从而得到企业2的最大利润为918.75，这还不如企业2选择当追随者的利润高。以上分析表明企业2不会去当领导者。

下面再来分析企业1当领导者的情况。这时企业2也可以采取前面所述的策略来威胁企业1，类似的分析表明：为了使企业2的策略无效，企业1的产量不能超过180，即，同时，在这样的产量限制下，如果企业1当领导者，他的利润仍然为3266。综合上述分析可知，在这个市场上只有企业1是最终的领导者。

最后需要说明的是：这样的结果只有在无穷次的重复博弈中才会出现。因为每个企业在实行威胁策略的时候就意味着它要放弃获得最大利润的机会，所以如果博弈只进行一次，那么企业的策略就一定是选择使自己利润最大化的产量，而不会选择威胁策略，这就意味着博弈只进行一次的均衡一定是双方都生产古诺均衡的产量。进行有限次博弈的结果也一样（见第（2）问的回答）。只有博弈进行无穷次重复的时候，这时执行威胁策略牺牲的利益才有可能在未来凭借领导者的优势得到补偿。

（2）如果这个博弈只进行一次，则结果必然是一个古诺均衡，因为每一个参与者都有充当领导者的动机。如果这个博弈是有限次的重复博弈，则结果仍然是古诺均衡，因为在最后一期，参与者预期到这是最后一次，则必然会增加产量，争当领导者，结果是一个古诺均衡；倒数第二期，由于知道下期是一个古诺均衡，则结果必然是在倒数第二期就开始争当领导者，从而结果是一个古诺均衡，依次类推，因此在有限次的重复博弈中，其结局必然是古诺均衡。只有在无限重复博弈中才有可能得到一个斯塔克博格均衡。

12．设一市场上只有两个生产者，产品稍有差别，但仍可以相互替代。寡头1所面临的市场逆需求函数为

其成本函数为

假定寡头2只想维持1/3的市场份额。

求：、、与。

解：由“寡头2只想维持1/3的市场份额”可知，因此寡头1所面临的市场逆需求为，于是寡头1的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得，从而得到：，，。

13．考虑一个两期的垄断者问题。在第1期与第2期，市场需求函数都是。在时期1中，单位成本为；在时期2中，单位成本为，时期之间的贴现因子为1，设为时期1的产量。

求证：。

证明：设两期的利润分别为、，又因为贴现因子为1，所以垄断者的利润为，因此垄断者的利润函数为：

利润最大化的一阶条件是：

由上述两式解得：

14．测度厂商分布的一个方法是使用荷凡达尔（Herfindahl）指数，定义为

这里是厂商在总行业收益中的份额。证明如果行业中的所有厂商有不变规模收益的生产函数，且遵循古诺产出决策，总行业利润对总收益的比等于荷凡达尔指数除以需求的价格弹性。这一结果意味着行业集中与行业盈利之间有什么样的关系？

答：（1）证明：假设有家厂商，由于所有的厂商都具有规模报酬不变的生产函数，所以厂商的成本函数可以表示为，这里，，2，…，。对企业而言，给定其他企业的产量，它的利润最大化问题为：

一阶条件为：

即：

从而有：

根据需求价格弹性的定义，就有：

则：

则：

最后得到：

（2）由于，其中。这样，当所有的（，2，…，）都相等时，的值最小，为；当整个行业只有一家厂商时，的值最大，为1。由此可知：对于集中程度高的行业，利润率也高，对于集中程度低的厂商，利润率也低。特别的，垄断行业的利润率最高；当时，进行古诺竞争的市场就会趋向于完全竞争的市场，此时，从而每个厂商的利润率也趋向于0，这就说明竞争行业的利润率最低。

15．在克罗若克斯（Clorox）公司收购的案例中，宝洁是该市场惟一没有进入且有强劲实力进入的厂商，是否可以设计一个运用厂商的成本曲线与厂商所面对的需求曲线的方法来确认宝洁是不是一个APE（actual potential entrant）？运用你的分析说明在这一反托拉斯的案例中，法庭应该寻找什么？

答：可以设计一个运用厂商的成本曲线与厂商所面对的需求曲线的方法，用来区别真正的进入者、潜在的进入者与没有进入者时的情况。分析如下：

案例的背景：该案例是美国六十年代的一个反托拉斯案例Federal Trade Commission vs Procter &Gambler。当时Clorox公司在该市场占有70%的市场份额。而宝洁想收购该公司以进入此市场。最后最高法院阻止了收购，理由是，宝洁是该市场惟一没有进入、且有强劲实力进入的厂商，它的存在已经能使Clorox公司的行为保持一定的竞争性；而一旦收购成功，该产业的集中程度将升高，并且垄断性更强（尽管宝洁声称从未打算自己进入该市场）。该案的关键是确定宝洁是否在未进入该市场时仍能对Clorox公司保持“压力”。

一个APE（actual potential entrant）需要满足的条件是：该厂商有经济动机进入该市场，而它不进入市场，也会使市场的在位者（incumbent）保持寡头垄断行为。

本题分析如下：

（1）如果宝洁的存在不对Clorox公司构成威胁，那么Clorox公司就是市场上的垄断者，从而它的定价行为就会遵从一个垄断厂商的做法，即产品的价格等于边际成本的加成，用公式表示就是：

  ①

所以可以根据厂商的成本曲线和需求曲线分别计算出边际成本和市场需求弹性，并代入①式中计算垄断价格，然后和市场价格相比较。如果计算出来的价格远高于市场价格，那么可以认为宝洁的存在使得Clorox公司压低了产品的价格——保持一定的竞争行为，法庭就应当阻止宝洁的进入；反之，如果计算出来的价格和市场价格比较接近，那么该市场就已经是垄断市场，宝洁的存在就没有对Clorox公司的产品价格产生压力。

（2）由以上的分析可知，法庭的证据寻找应当集中在市场的需求曲线和Clorox公司的成本曲线这两个方面。

16．在一个中等城市中电话的需求为

这里是家庭安装电话的数量（单位：千门），是使用电话的每月租金（单位：美元）。电话系统的成本由下式给出：

（1）本城市的电信业务是否是一个自然垄断的行业？

（2）在这种情况下，什么样的产出水平将产生一个无管制的垄断？消费者要支付的价格是多少？垄断利润是多少？

（3）如果允许活跃的竞争，价格会有什么变化？

解：（1）自然垄断行业是指该行业中企业的平均成本在相当大的产量范围内都是递减的。一般而言，自然垄断的情况常常出现在那些在生产的初始阶段需要大量固定投资，但以后的运营成本相对较低的行业。

本题中，电信业务的边际成本为，因为，所以平均成本随产出增大而减少，因此该行业是自然垄断行业。

（2）对于垄断厂商而言，其利润最大化的必要条件是边际收益等于边际成本，即：

即：

解得或。又因为时，，所以舍去。

当时，市场价格为；

厂商利润为。

（3）如果允许竞争，那么在没有市场准入的限制下，短期内，会有新的厂商进入市场，从而市场上的各个厂商会进行寡头竞争，从而总产量上升，产品价格下降，同时单个厂商的产量下降，每个厂商都会发生不同程度的亏损；但是在长期内，只有那些资本实力雄厚的厂商会留存下来，而其他厂商会逐渐选择退出市场，所以市场最终又会回复到垄断状态。

17．假定平板玻璃市场有个厂商，它们的成本函数都是，其中代表第个厂商的产量，为正的常数。市场的反需求函数是递减函数。

（1）如果这个市场是完全竞争的，那么市场价格、每个企业的销售量和利润额将是多少？

（2）这个行业里的厂商认为低价“倾销”使它们的利润受损失，于是成立行业协会规定最低限价，那么将由什么原则决定各自的产量定额和自律价标准？它们各自的利润较实行价格自律前有多大变化？

（3）这种合谋定价，如果没有政府支持，可能长久吗？为什么？（用数学公式来表达）

（4）从社会经济效率的角度看，政府是否应该帮助此行业实行价格“自律”？为什么？

解：（1）完全竞争市场达到长期均衡时，每个企业的利润都为0，这意味着均衡的市场价格等于厂商的最低平均成本，由于长期平均成本为常数，所以均衡的市场价格也等于。

此外，由于市场中的所有企业都是相同的，所以均衡时每个企业的产量都相等，假设这一产量等于，那么就应该满足：，企业的利润为：。

（2）个厂商串谋的总利润最大化问题为：

相应的一阶条件为：

  ①

从①式中解得总产量，由于所有的厂商都是相同的，所以它们的产量也相同，都是。此外如果假设需求曲线向下倾斜，那么，从而由①式可知，串谋后的市场价格满足，从而每个厂商都可以获得数量为的利润。

（3）这种合谋定价如果没有政府支持不可能长久，因为这时每个厂商都有扩大产量的动机。分析如下：

给定其他厂商的产量为，厂商的利润最大化问题为：

目标函数式对求导并令导函数等于0得：

②

特别地，把代入②式中，就有：

这说明厂商扩大产量可以提高它的利润。

（4）从社会经济效率的角度来看，政府不应该帮助此行业实行价格“自律”。

由第（2）问可知，即串谋后的市场价格高于产品的边际成本，所以串谋是缺乏效率的，因此政府不应该帮助此行业实行价格自律。

18．判断对错并简要说明理由：

（1）当达到古诺均衡时，市场供求不一定相等。

（2）Bertrand均衡时，价格等于边际成本。所以在现实的寡头市场中不应该看到超额利润。

（3）无论在竞争市场、垄断市场还是垄断竞争市场，厂商选择的原则都是边际收益等于边际成本。

（4）因为垄断竞争产量低于完全竞争产量，所以在长期厂商仍可获得超额利润。

答：（1）错误。因为古诺均衡的条件为：

①市场供求相等。

②在古诺竞争中，每个厂商都根据自己对其他厂商的产量的预测选择使自己利润最大化的产量，所以达到均衡时，每个厂商对其他厂商的产量预测等于这些厂商的实际产量。

（2）错误。Bertrand均衡时，价格是等于边际成本，但现实中的寡头市场不一定满足Bertrand均衡存在的条件。比如说Bertrand均衡存在要求产品同质，但是现实中厂商的产品常常是有差异的。此外，对于进行Bertrand竞争的厂商，如果它们的边际成本不相等，那么较低边际成本的厂商总是可以获得超额利润。

（3）正确。这里需要注意的是，完全竞争厂商的最优产量满足的条件是价格等于边际成本，即，但是这并不和边际收益等于边际成本相矛盾，因为对完全竞争的厂商而言，它们所面对的价格是确定的，所以产品价格就等于边际收益。

（4）错误。在短期内，垄断竞争市场可以存在超额利润。但是，在长期中，由于超额利润的存在会不断的吸收新的厂商的进入，因此在长期中，超额利润为0。另外，垄断竞争市场与完全竞争市场的区别不在于超额利润的存在，而在于产品是否同质。