第7讲　要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数

1．已知生产函数为，求利润函数，并用两种方法求供给函数

。

解：（1）由已知可得，厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得：，。

把和的表达式代入目标函数式中就得到了利润函数：

（2）方法一：根据霍太林引理：

可知厂商的供给函数为：

方法二：把和的表达式代入厂商的生产函数中，也可以得到供给函数：

2．已知成本函数为，求竞争性厂商供给函数与利润函数。

解：厂商关于产量的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得厂商的供给函数为：

把代入中，就得到了利润函数：

3．下列说法对吗？为什么？

函数可以成为—个利润函数。

答：（1）题中说法不对。

（2）因为利润函数关于产品价格和要素价格是一次齐次函数，即对任意的，都有

。

对于函数，有，可知该利润关于价格不是一次齐次的，因此该函数不可以成为一个利润函数。

4．在一篇著名的论文里（J.Viner：“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3（September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组曲线，并令其与U型线的切点也分别是每一条线的最低点。绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。在这一辩论中，你将支持哪一方？

答：在这一辩论中，我会支持绘图员一方。理由如下：

假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线，其中，2，…，，使得它们和U型的长期平均成本线分别相切于点，而且切点是的最低点。如果不是线的最低点，那么过该点作的切线，它应该是一条水平的直线。同时过点作线的切线，由于不是线的最低点，所以必定不是水平的。可是和相切于点却意味着和是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。因此，如果不是线的最低点，那么它必然不是的最低点。但是，如果是线的最低点，那么它也是的最低点。

5．施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书。作为真正的科学家，他们提供了写作本书的生产函数如下：

其中是完成本书的页码数，为施教授将要支出的工作时间（小时）数，为纪教授花费的工作小时数。施教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿。纪教授的每小时工作价值为12美元，并将修改施教授的初稿以完成此书。

（1）纪教授必须耗费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？360页？450页？

（2）一本150页的成书的边际成本是多少？300页的书的边际成本是多少？450页的书的边际成本是多少？

解：（1）由于施教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：

这样本问题就变成了求解下面三个方程：

，，

解得小时，小时，小时。

（2）生产书的成本函数为：

相应的边际成本。把、、分别代入边际成本的表达式得到：，，

。

6．假定厂商生产函数为柯布一道格拉斯生产函数，有

（其中。）厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为与的任意数量的与。

（1）证明成本最小化要求

该厂商的扩张线的形状是什么？

（2）假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于，与的函数

这里，是依赖于与的常量。提示：这部分可通过运用（1）中的结果去计算作为的函数，以及作为的函数并代入到生产函数中去。

（3）证明如果，则与成比例。

证明：（1）厂商的成本最小化问题为：

建立拉格朗日函数：

拉格朗日函数分别对、和求导，就得到：

　 ①

   ②

　 ③

从①式和②式中消去就得到：

④

生产扩张线是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下，由投入总成本的变化而引起的最优要素比例的变动的轨迹。在本题中，由于最优的要素组合满足④式，从而得到，这说明生产扩张线是一条经过原点的射线。

（2）从④式中解出关于的表达式后，代入③式中，就可以解出的表达式：

　 ⑤

把⑤式代入④式中，就有：

　  ⑥

把⑤、⑥两式代入目标函数式中，就得到了总成本函数：

其中。

（3）如果，那么总成本的表达式就变为，即和成比例。

7．假定厂商固定要素比例的生产函数为。资本与劳动的租金价格分别为，。

（1）计算厂商的长期总成本、平均成本与边际成本。

（2）假定在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、平均成本与边际成本。第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？

解：（1）由生产函数的形式可以知道，两种生产要素是互补的。

厂商的成本最小化问题为：

对于最优的和，必有成立，从中解得，。把这两个式子代入目标函数式中，得到成本函数，相应的平均成本函数和边际成本函数分别为，。

（2）当时，厂商的生产函数为：

因此厂商的成本函数为（如图7-1所示）：

图7-1  总成本，边际成本和平均成本曲线

相应的边际成本和平均成本为：

总成本，边际成本和平均成本曲线如图7-1所示。

所以第10个单位的产品边际成本为0.3，第50个单位的产品边际成本为。由于在固定投入的限制下，厂商的产量上限就是50，第100个单位的产品边际成本不存在。

8．假定某厂商的生产函数是。在短期，厂商的资本装备数量固定为。的租金价格为元，的工资率为元。

（1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

（2）厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的、与是什么？若生产数量分别为50、100、200时，这些曲线是什么样的？

（3）画出厂商的与曲线，标出（2）中所求得的点。

（4）曲线与曲线在何处相交？解释为什么曲线将通常交于线的最低点。

解：（1）短期内，固定投入的数量为，所以厂商的生产函数为：。

所以厂商的短期总成本为；

相应的短期平均成本为。

（2）短期边际成本为，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、100个、200个时，短期总成本分别为106.25元、125元、200元、500元，短期边际成本分别为0.5、1、2、4，短期平均成本分别为4.25元、2.5元、2元、2.5元。

（3）如图7-2所示。

图7-2  短期总成本和短期平均成本曲线

（4）与相交于曲线的最低处。当多生产一单位的产品所增加的成本低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品所增加的成本高于平均成本时，平均成本上升。因此，当多生产一单位的产品所增加的成本等于平均成本时，平均成本最低。

9．一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是（，2）。每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同。工厂1拥有，工厂2拥有

。与的租金价格由元给出。

（1）如果该企业家试图使短期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂间分配？

（2）给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线。产量为100、125与200时的边际成本是多少？

（3）在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本曲线。

（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则（3）将会有什么变化？

解：（1）短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以它们的生产函数就变为：

于是两个工厂各自的短期成本函数分别为：

工厂1边际成本为；

工厂2边际成本为。

由等边际法则，即有：

解得：，即产量在两个工厂之间分配的比例为1∶4。设总产量为，则工厂1产量为，工厂2产量为。

（2）把代入成本最小化问题的预算约束中，解得，，把它们代入成本最小化问题的目标函数式中就得到了该企业的短期总成本函数：

短期平均成本函数为：

短期边际成本函数为：

所以当时，，，；

当时，，，；

当时，，，。

（3）长期内，由于两个工厂的生产函数相同，那么对于每一个单独的工厂而言，其成本最小化问题是：

利用拉格朗日乘数法解得资本和劳动力的要素需求函数为：

把要素需求函数代入目标函数式中得到单个工厂的长期成本函数：

这样企业的成本最小化问题就是：

易见，长期内无论在两个工厂之间如何分配产量，都不会影响企业的总成本，所以企业的长期成本函数为

，相应的长期边际成本和长期平均成本分别为。

（4）如果两个工厂的生产技术表现出规模报酬递减，那么厂商的产量分配标准是使得每个工厂生产的最后一单位产品的边际成本相同，即。特别地，由于本题假设两个工厂的生产函数相同，所以最优的产量分配方案是每个工厂生产相同的产量，即：

10．假定某厂商的生产函数是，而资本投入在短期固定为。

（1）计算厂商的总成本为、、与的函数。

（2）给定、与，在长期中，资本投入应如何加以选择以使成本最小化？

（3）用你在（2）中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总成本。

（4）对于美元，美元，试画出曲棍球棒生产的长期总成本曲线。运用、与证明它是由（1）所计算出的短期成本曲线的包络线。

解：（1）短期内生产资料的数量固定，所以由厂商的生产函数解得，于是短期总成本函数为：

（2）厂商的长期成本最小化问题可以描述为：

把的表达式代入，求导，并令导数等于零，解得：

①

（3）把①式代入短期总成本函数的表达式中，就得到了长期总成本函数：

（4）当美元，美元时，长期总成本函数为。而当时，短期总成本函数为

。

①由解得，这说明长期总成本曲线和短期总成本曲线只有惟一的交点。

②当时，，所以长期总成本曲线和短期总成本曲线的交点也是它们惟一的切点。

③对任意的，，这说明短期总成本曲线总是位于长期总成本曲线之上。

以上三条结论对和也成立，这就说明长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络线，如图7-3所示。

图7-3  长期总成本曲线是短期总成本曲线的下包络

11．下列说法对吗？为什么？

因为利润最大化是成本最小化的充分条件，所以要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质。

答：这个说法不对，理由如下：

条件要素需求函数是根据成本最小化的条件得出来的，它是产量和要素价格的函数，具有以下性质：

（1）条件要素需求函数是要素价格的零次齐次函数。

（2）条件要素需求函数是自身要素价格的减函数，即。

（3）要素的交叉价格效应相等，即。

要素需求函数是根据利润最大化的条件得出来的，它是产品价格和要素价格的函数，具有以下性质：

（1）要素需求函数是商品价格的增函数，自身要素价格的减函数。

（2）要素的交叉价格效应相等，即。

对比以上各条性质，就可以发现，要素需求函数和条件要素需求函数各有各的性质，并不能说前者具有后者的所有性质。

12．函数可以成为一个成本函数吗？（这里为工资率，是利率，为产量。）并请陈述你的理由。

答：此函数不是一个成本函数，理由如下：

成本函数的性质包括：

（1）随着要素价格的提高而增加。

（2）是所有要素价格的一次齐次函数。

（3）是要素价格的凹函数。

下面证明函数不满足成本函数的一次齐次性。

对任意的，，这说明此函数不满足一次齐次性，所以它不是一个成本函数。

13．推导成本函数，当生产函数分别为以下形式时：

（1）

（2）

（3）

注：假设每个生产函数都只有一种产出。、为两种投入，、分别为两种投入的单价，为产量。

解：（1）成本最小化问题为：

由约束条件解得：

　  ①

把①式代入目标函数式中，得到一个无约束的成本最小化问题，即：

下面分三种情况讨论：

时，，，此时成本函数。

时，，，此时成本函数为。

时，两种要素的投入任意，此时成本函数为或。综上可知厂商的成本函数为：

这个问题也可以进行直观的分析，由于生产函数显示的是两种生产要素是完全替代的，因此厂商只会选择价格便宜那种要素，成本函数必然是这种形式。

（2）成本最小化问题为：

对于最优的要素需求数量，一定有，如图7-4所示。

图7-4  完全互补的生产函数的成本最小化

把代入目标函数式，就得到成本函数为;

本问题可以直观地分析，由于生产函数显示的是一个完全互补的生产函数，因此，两种要素投入的比例必然是一比一的，因此其成本函数是的形式。

（3）成本最小化问题为：

这个问题的拉格朗日函数为：

成本最小化的一阶条件为：

   ①

 ②

  　 ③

由①②③三式解得：，。

将上述两式代入目标函数式中，得到成本函数：

14．下列说法对吗？为什么？

（1）当边际成本（）下降时，平均成本必下降；

（2）当边际成本（）上升时，平均成本必上升。

答：（1）正确。理由如下：根据平均成本的定义，这个式子关于产量求导，得到：

又因为对任意的，存在介于0到之间的某个数，使得下式成立（其中第二个等式用到了定积分中值定理）：

，其中

所以：

由于边际成本递减，所以，这就意味着：

（2）错误。因为对于递增的边际成本，虽然，但是，由于存在固定成本这一项，因此无法判定当边际成本上升时，平均成本是否会上升。这也可以从图形上看出，如图7-5所示，在边际成本上升的那一段，平均成本是先下降后上升。

图7-5  平均成本曲线和边际成本曲线即平均成本递减。

15．对于生产函数（，），计算利润最大化的利润函数、供给函数。并判断该利润函数是否满足课本上讲过的性质（1）～（4）。

注：假设该生产函数只有一种产出。、为两种投入。

解：（1）对于该生产函数而言，相应的利润最大化问题为：

①

①式分别关于和求偏导数，并令偏导函数等于零，得到：

从而解得要素1和2的需求函数为：

把要素1和2的要素需求函数代入目标函数式中，就可以得到利润函数为：

把要素1和2的需求函数代入生产函数中，就可以得到厂商的供给函数为：

（2）利润函数的性质：如果生产函数在定义域上是连续的，严格递增且严格拟凹，，那么对于产品价格，投入品价格，利润函数是连续的，并且有以下四条性质：

①关于递增；

②关于递减；

③关于是一次幂齐次的；

④对于是凸的。

由利润函数，可得：

该利润函数关于递增，满足利润函数性质①。

由，，故该利润函数关于价格递减，满足性质②。

由，故该利润函数是一次齐次的，满足性质③。

如果一个函数的海赛矩阵正定，那么该函数必然是凸函数。经过计算可知，本题的利润函数的海赛矩阵是正定的，所以它是凸函数，即该利润函数满足性质④。

16．证明：在竞争型的市场中，如果一个厂商的生产技术具有规模报酬不变的特性，那么如果最大利润存在，它一定为零。

证明：采用反证法，在竞争型的市场中，假设一个具有规模报酬不变技术的厂商可以获得正的最大利润，则可以表示为：

其中是产品价格，和是生产要素的价格，和是最优要素投入。

那么当厂商的生产规模扩大为原来的（）倍时，厂商的利润为：

这就和是最大利润相矛盾，所以厂商的最大利润只能是零。

17．说明生产者剩余也能由如下运算得出

这里，是市场给出的价格，企业是价格接受者。

答：根据霍大林引理有，这里是厂商的供给函数，这样题中的积分式就可以表示为：

这个积分的值恰好等于图7-6中阴影部分的面积，即生产者剩余。

图7-6  生产者剩余

18．假定一个从事非法复制计算机CDs的厂商有如下每日短期总成本函数

（1）如果非法复制的计算机CDs每盘卖20元，则这个厂商每天生产多少？它的利润是多少？

（2）当美元时，厂商的短期生产者剩余是多少？

（3）写出这个厂商的生产者剩余作为非法CDs价格的函数的一般表达式。

解：（1）由已知可得厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得，此时厂商利润为（元）。

（2）由于生产者剩余等于利润和固定成本之和，所以该厂商的生产者剩余为：

（3）对于任意的价格，厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得和，于是生产者剩余就等于利润与固定成本之和，即

。

19．给出下列论断不成立的反例（或图像）：

（1）平均成本在任何地方都递减意味着边际成本在任何地方都递减。

（2）成本函数呈次可加性意味着平均成本在任何地方都递减。

答：（1）反例如下：假设厂商的总成本函数为，则相应的平均成本函数和边际成本函数分别为

和。可见，平均成本函数在任何地方都是递减的，但是边际成本保持不变，如图7-7所示。

图7-7  平均成本递减，边际成本不变

（2）成本函数的次可加性是指对于任意的产量，……，，都有：

考虑如下离散产品数量的成本函数：生产第一个产品的成本为2，生产第二个产品的成本为1。以后的生产中，当生产第（，）个产品时，成本为2；当生产第（，）个产品时，成本为0。那么这个成本函数就满足次可加性。

生产前个产品的平均成本为；生产前个产品的平均成本为

；生产前个产品的平均成本为，由于恒成立，所以

，可见平均成本函数并非递减。

20．学习曲线的出现与规模报酬递增是一回事吗？如不是，请说明两者之间的差别。

答：学习曲线的出现与规模报酬递增不是一回事。

规模报酬递增是指在其他条件不变的情况下，生产投入的数量增加为原来的（）倍时，产出的增加比例高于投入的增加比例，即，特别地，规模报酬递增就意味着厂商的平均成本是递减的。

学习效应是指，在长期的生产过程中，企业的工人，技术人员，经理人员等可以累积产品生产﹑产品的技术设计﹑以及管理方面的经验，从而导致长期平均成本的下降。学习效应通常被描述为学习曲线，它描述的是企业的累积性产品产量与所生产每一单位产品产量所需要的投入物数量之间的关系。

规模报酬递增和学习效应的区别在于：规模报酬递增反映为长期平均成本曲线是递减的；而学习效应则反映为工厂的长期平均成本曲线向下移动，如图7-8所示。

图7-8  学习效应和规模经济的区别

21．有学者对美国化工行业的平均成本（）、行业的累积产量（）以及企业平均规模（）做了回归。其计算结果如下

（1）请你对上述计算结果做出经济解释。这里，什么是学习曲线效应？它是多少？什么是规模经济效应？它是多少？

（2）这项研究对于研究中国工业行业中的学习曲线效应与规模报酬效应有什么启发？若你想做这样的研究，应该首先确定哪些统计指标？对统计数据先作什么样的处理？

答：（1）回归方程两边微分得到：

这个式子就意味着当行业的累积产量增加1个百分点时，平均成本下降0.387个百分点；当企业的生产规模扩大1个百分点时，平均成本下降0.173个百分点。在回归方程中，等号右边第一项是学习效应，它是－0.387；等号右边第二项是规模经济效应，它是－0.173。

（2）这项研究说明学习效应比规模经济的效应要大得多，从而通过内部的学习过程要比通过简单的产量扩张所产生的效果在降低成本方面更有效。这项研究对于我国这样一个以粗放型经济为主的国家来说，具有重大的意义。在我国，长期以来，一直以简单的外部扩张为主，忽略了内部提高组织效率的作用。这个研究项目恰恰说明了提高内部组织效率的重大作用。

如果要做相关的研究，首先要选择那些与成本有着直接关系的指标，然后在确定这些指标的基础上，分析哪些指标的作用更大，哪些指标的作用比较小，最终通过这些指标来建立回归方程式，进行定量分析。