第6章 风险厌恶与风险资产配置
6.1 复习笔记
1．风险与风险厌恶
（1）单一前景的风险
风险的存在意味着可能产生一个以上的结果，单一前景是指将某一初始财富用于投资时面临着风险，这一投资机会只产生两种可能的结果。
（2）投机
投机是指在获取相应的报酬时承担一定的商业风险。“相应的报酬”是指去除无风险收益之后的实际期望收益，这就是风险溢价，风险溢价是由于风险所得到的预期所得。“一定的风险”是指足以影响决策的风险，当增加的收益不足以补偿所冒的风险时，投资者可能会放弃一个产生正的风险溢价的机会。
（3）投机与赌博的区别
赌博是为一个不确定的结果打赌或下注。它与投机的主要区别在于赌博没有“相应的报酬”。从经济意义上讲，赌博是为了享受冒险的乐趣而承担风险，别无其他目的。而投机是在投机者看到有利的风险-收益权衡时发生的。把赌博变成投机要求有足够的风险溢价来补偿厌恶风险的投资者所承受的风险。因此，赌博与投机是不同的。
（4）投机与赌博的联系
在某些情况下，赌博可以转化为投机。赌博源于两个投资者赋予结果的概率值是不同的。他们主观地认为有两种不同的前景，经济学家把这种观点的差异称之为“异质预期”。在这种情形下，投资者双方都把自己的行为视为是投机而非赌博。
解决异质预期的理想办法是让两个投资者“融和信息”，即令双方明确对方掌握了所有相关信息并且处理信息的方法得当。当然，要排除异质预期需要获取信息和深入的沟通，这要付出高昂的代价，而且在一定程度上异质预期不能非理性地被接受。
（5）风险厌恶与效用价值
①效用函数
效用函数U=E（r）-1/2Aσ2，其中，U是效用值，E（r）为资产组合的期望收益，σ2为收益方差，A为投资者的风险厌恶指数，系数1/2只是一个约定俗成的数值。无风险资产的效用值就是其自身的收益率，因为其风险补偿为零。投资者对风险厌恶程度越高（A越大），对风险要求的补偿就越高，越不会选择风险较大的投资工具。投资者会在投资产品中选择其效用值最高的组合。
②确定等价收益率
可以把风险资产的效用值看作投资者的确定等价收益率（certainty equivalent rate），即无风险资产为达到与风险资产相同的效用所需要的收益率。当一个资产组合的确定等价收益大于无风险投资收益时，这个投资才值得。
a．一个极度厌恶风险的投资者可能会把任何风险资产组合，甚至风险溢价为正的资产组合的确定等价收益率看得比无风险投资收益率都低，这就使得这样的投资者拒绝资产组合。
b．与风险厌恶投资者相比，风险中性的投资者只是按期望收益率来判断风险投资。风险的高低与风险中性投资者无关，这意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价收益率就是期望收益率。
c．风险爱好者愿意参加公平博弈或其他赌博，这种投资者把风险的“乐趣”考虑在内，使期望收益率上调。因为上调的风险效用使得公平博弈的确定等价收益率高于无风险投资，风险爱好者总是加入公平博弈。
（6）估计风险厌恶系数
通过观察活跃投资者的投资账户可以得到其投资组合随时间的变化。结合这些信息和投资者这些头寸的风险收益搭配，可以从原理上计算投资者的风险厌恶系数。最后，通过跟踪观察一组对象的行为来获得风险厌恶系数的均值。
2．资产组合风险
（1）资产组合风险
①套期保值
a．含义
评估一个资产组合的风险时，投资者必须考虑到资产收益之间的相互作用。当资产组合中的一部分资产遭受巨大损失时，投资于补偿形式的另一部分资产可以抵消这个损失，稳定整个资产组合的风险，这称为套期保值。
b．作用
套期保值资产与原有资产组合收益的负相关性使得套期保值资产的波动性具有降低风险的特性。当一种套期保值资产与原有资产组合完全负相关时，它就是一种理想的套期保值工具，其作用相当于资产组合的保险合约。
②风险分散化
控制资产组合风险的另一个工具是分散化，这意味着投资要散布于各类资产中，这保证了任何特定证券所暴露的风险是有限的。通过把鸡蛋放在许多篮子中，整个资产组合的风险实际上要比资产组合中任何一个孤立的证券所有的风险低。
（2）资产组合中的数学
①在任何情况下，资产的平均或期望收益就是其收益的概率加权平均值。Pr（s）表示s情况下的概率，r（s）为该情形下的收益，那么期望收益E（r）为：
②资产收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值。
③资产组合的收益率是构成资产组合的每个资产收益率的加权平均值，资产组合的构成比例为权重。这表明资产组合的期望收益率也就是每个资产的期望收益率的加权平均值。
④当一个风险资产与一个无风险资产相组合时，资产组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该资产组合投资于这部分资产上的比例。
（3）套期保值或分散化的量化
协方差与相关性是量化资产的套期保值或分散化的概念。协方差测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的协方差意味着资产收益同向变动；负的协方差表明它们朝相反的方向变动。
相关系数是比协方差更简便的计算方法。它把协方差的值放在-1（完全负相关）和+1（完全正相关）之间。两个变量的相关系数等于它们的协方差除以标准差。
（4）套期保值策略的操作
方差分别是
和
的两个风险资产以w1和w2的权重构成一个资产组合，该资产组合的方差
为：
正的协方差提高了资产组合的方差，而负的协方差降低了资产组合的方差。因为负相关的资产收益是相抵的，它稳定了资产组合的收益。从根本上说，套期保值就是购买与现有资产组合负相关的风险资产。这种负相关使得套期保值资产的波动性具有降低风险的特性。在资产组合中加入无风险资产是一种简单的风险降低策略，套期保值策略是取代这种策略的有效方法。
3．风险与无风险资产组合的资本配置
控制资产组合风险最直接的方法是，部分资产投资于短期国库券和其他安全的货币市场证券，部分投资于有风险的资产。通过检验最基本的资产配置选择（资产组合中有多少资产投资于无风险货币市场证券，有多少资产投资于其他风险资产）有助于考察投资者的风险—收益权衡关系。
记投资者的风险资产的资产组合为P，无风险资产为F。假设整个资产组合中的风险部分由两种共同基金构成，一种投资于股票，另一种投资于长期债券。且当把财富由风险资产组合转移到无风险资产上时，并没有改变各种不同风险资产在风险资产组合中的相对比例。只是降低了风险资产组合作为一个整体的相对权重而更偏好于无风险资产了。
4．无风险资产
一般认为短期国库券可以作为无风险资产。它们的短期性造成它们的价格对利率的波动很敏感。实际上，投资者可以购买短期国库券并持有到期来锁定短期名义收益。再者，几周甚至几个月的通货膨胀率的不确定性与股票市场收益的不确定性相比是可以忽略的。
实际上，绝大多数投资者用范围更宽的货币市场工具作为无风险资产。所有的货币市场工具实际上与利率风险无关，因为它们的偿还期短，并且在违约或信用风险方面也是相当安全的。就多数而言，大部分货币市场基金持有三种类型的证券：短期国库券、银行可转换存单（CD）和商业票据（CP），它们在违约风险方面有细微的差别。
5．单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
记风险收益率为rP，P的期望收益率为E（rP），标准差为σP。无风险资产收益率为rf。
由y份风险资产与（1-y）份无风险资产组成的整个资产组合C的收益率记为rC，则rC=yrP+（1-y）rf （6-1）
对资产组合的收益率取期望，有：
E（rC）=yE（rP）+（1-y）E（rf）=rf+y[E（rP）-rf] （6-2）
任意资产组合的基本收益率是无风险资产收益率。另外，资产组合期望获得一个无风险溢价，它依赖于无风险资产组合的风险溢价［E（rP）-rf］以及投资者的记为y的风险资产的风险暴露。这里，投资者被假设为是风险厌恶型的，并且在没有正的风险溢价时不愿意持有风险头寸。
当用一个风险资产和一个无风险资产组成资产组合时，这个组合的标准差等于风险资产的标准差乘以其在资产组合中的权重。因此，投资组合的标准差为：
σC=yσP （6-3）
由（6-3）式可得
代入（6-2）式中，可解得
由此即可求出投资组合的期望收益和标准差之间的线性关系，用图形表示出来就是资本配置线（CAL），它表示投资者的所有可行的风险-收益组合。它的斜率为S，等于选择的资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即
换句话说，就是每单位额外风险的额外收益的测度。基于这一原因，该斜率也可称为报酬-波动性比率，或者夏普比率。
图6-1 风险资产与无风险资产的投资机会集合
当y=1，即σC=σP时，投资组合全部由风险资产构成，其期望收益恰好等于风险资产的期望收益，在图6-1中表示为P点；当y=0时，投资组合全部由无风险资产组成，其期望收益恰等于无风险收益率，在图6-1中表示为直线与纵轴的交点；当0＜y＜1时，组合的风险收益状况介乎这两点之间。
当投资者以无风险利率借入资金购买风险资产，即风险资产存在杠杆头寸，y＞1，而无风险资产是空头时，资产组合收益率分布仍旧展现出相同的报酬-波动性比率，在图6-1中表现为P点右上方的点。当然，非政府投资者不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险使得贷款者要求更高的贷款利率。在此情况下报酬-波动性比率，也就是资本配置线的斜率相对较小，如图6-1所示，在P点右上方，资本配置线变得更为平坦。在存在保证金交易的情况下，这一效应有可能会进一步放大。
6．风险容忍度与资产配置
面对资本配置线的投资者现在必须从可行的选择集合中选出一个最优组合，这个选择需要基于风险与收益之间的权衡关系。个人投资者风险厌恶的不同意味着给定一个相等的机会集合（即无风险收益率和报酬与波动性比率）下，不同投资者将选择不同的风险资产头寸。具体来讲，投资者越厌恶风险，越会持有较多无风险的资产，或选择风险较小的资产。
期望收益和资产组合收益率的方差可以说明投资者从给定收益率概率分布的资产组合中获得的效用。也就是说投资者从投资组合中获得的效用可以表示为期望收益和收益率方差的函数，即
U=U（E（r）,σ2） （6-5）
譬如可以将效用函数表示为U=E（r）-Aσ2，其中
为投资者的风险厌恶系数，介乎0与1之间。资产组合的效用随期望收益率上升而上升，随着方差上升而下降。这种变化关系的重要程度由风险厌恶系数
决定。对风险中性的投资者，A=0。更高水平的风险厌恶反映在更大的值上。
一个投资者面对无风险利率为rf和期望收益为E（rP）、标准差为σP的风险资产组合，将发现，对于y的任何选择，整个资产组合期望收益由式（6-1）给出，即E（rC）=rf+y[E（rP）-rf]。
由式（6-2）可得，全部资产组合的方差
。投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来使其效用最大化。从式（6-1）至（6-4）可知，给出任一个y都可以得到相应的E（rC）、σC和U。一般来说，存在一个y值使得投资者的效用最大。当y小于该值时投资者为了增加期望收益愿意承担更多的风险。但是当y值越大的时候风险越大，在风险资产上的增加的分配就越来越少——在该点以上，风险的增加超过了期望收益的增加并且效用降低。
运用微积分知识可知，解最大化问题是通过令一阶导数为零。对U求一阶导，令其为零，解出厌恶风险投资者的最优风险资产头寸的收益率y*：
最优风险资产头寸是用方差测度的，与风险厌恶水平和风险水平成反比，与风险资产提供的风险溢价成正比。
另一种表达这个决策问题的方式是利用无差异曲线分析。无差异曲线是一条期望收益率-标准差平面上有相同给定效用水平的所有点组成的图形。这条曲线显示了投资者所要求的期望收益率与标准差的权衡关系。对于风险厌恶型的投资者而言，无差异曲线一般是向右上方倾斜并向右下方凸出的，随着投资组合风险的加大，投资者所要求的风险报酬将会以更快的速度增长。如图6-2所示。
图6-2 无差异曲线
由于无风险资产组合的效用值就是该组合的期望收益率值，则图6-2中每个无差异曲线的截距（σ=0点）称为该曲线上资产组合的确定性等价收益率——事实上就是该曲线的效用值。在这里，“效用”和“确定性等价”两个术语是一致的。
可能的话，任何投资者都愿意选择更高的无差异曲线，即对应更高的确定性等价（效用）的曲线。更高的无差异曲线上的投资组合在给定的风险水平下有更高的期望收益。如果把无差异曲线簇放到代表投资机会集合的资本配置线的图中去，如图6-3所示，就可以确定出接触到资本配置线的最高可能无差异曲线。该曲线与资本配置线相切，切点对应于最优的整个资产组合的标准差和期望收益率。
图6-3 使用无差异曲线寻找最佳的资产组合
7．消极策略：资本市场线
资本配置线由无风险资产与风险资产组合P导出。风险资产组合P的资产决策结果可以源自于一个消极策略或一个积极策略。消极策略描述了这样一种资产组合决策，该决策不做任何直接或间接的证券分析。乍看之下，消极策略显得很幼稚。然而，随着它变得越来越平常，在巨大的资本市场中，供给与需求的力量可以使这一策略成为许多投资者的理智选择。
消极持有风险资产的天然选择可能是一个分散风险的普通股资产组合。消极策略要求不必花功夫去获取任何单支股票或一组股票的信息。所以，必须采用一个“中性的”分散化策略。一种方法是，选择一个分散化的股票资产组合，使其能反映美国经济中企业的价值。
投资者寻求消极策略为什么合理呢？
首先，可供选择的积极策略并非是免费的。无论如何做出投资选择，在花费时间和成本以获取产生最优积极的风险资产组合所需信息方面，或者是委托收费的专业人士从事有关信息的搜集方面，积极策略的形成都会比消极策略更昂贵。消极策略仅仅需要很少的佣金来购买短期国库券（或者如果直接向政府购买则不需要佣金）及支付向公众提供市场指数基金的共同基金公司的管理费用。
投资者寻求消极策略的第二个原因是“免费搭车”型收益。如果市场中有许多这样的投资者，他们既活跃又有专业知识，能够迅速地使贬值资产的价格上升，使超值资产的价格下降（通过出售行为）。必然得出这样的结论：在任何时候，绝大多数资产都是公平定价的。因此，一个充分分散化的普通股资产组合将是公平合理的投资。并且，消极策略的收益水平不可能比积极策略下的投资的平均水平更低。
简单地说，一个消极策略包含两个消极的资产组合投资：实际无风险的短期国库券（或者可供选择的货币市场基金）和模仿公开市场指数的普通股基金。代表这样一个策略的资本配置线称为资本市场线。消极投资者根据他们的风险厌恶程度，将他们的投资预算在多种投资工具中进行配置。