6.2　课后习题详解

一、习题

1．风险厌恶程度高的投资者会偏好哪种投资组合？

a．更高风险溢价　  b．风险更高

c．夏普比率更低　  d．夏普比率更高

e．以上各项均不是

答：e。

2．以下哪几个表述是正确的？

a．风险组合的配置减少，夏普比率会降低

b．借入利率越高，有杠杆时夏普比率越低

c．无风险利率固定时，如果风险组合的期望收益率和标准差都翻倍，夏普比率也会翻倍

d．风险组合风险溢价不变，无风险利率越高，夏普比率越高

答：b项正确。较高的借入利率是对借款人违约风险的补偿。在没有额外的违约成本的完美市场中，这个增量值将与借款人违约选择权的价值相等。然而，在现实中违约是有成本的，因此这部分的增量值会使夏普比率降低。c项是不正确的，因为一个固定的无风险利率的预期回报增加一倍，风险溢价和夏普比率将增加一倍以上。

3．如果投资者预测股票市场波动性增大，股票期望收益如何变化？参考教材式（6-7）。

答：假设风险容忍度不变，即有一个不变的风险厌恶系数（A），则观察到的更大的波动会增加风险投资组合的最优投资方程（教材式6-7）的分母。因此，投资于风险投资组合的比例将会下降。

4．考虑一个风险组合，年末现金流为70000美元或200000美元，两者概率相等。短期国债利率为6%。

a．如果追求风险溢价为8%，你愿意投资多少钱？

b．期望收益率是多少？

c．追求风险溢价为12%呢？

答：a．预期现金流入为（0.5×70000）＋（0.5×200000）＝135000（美元）。风险溢价为8%，无风险利率为6%，则必要回报率为14%。因此资产组合的现值为：135000/1.14＝118421（美元）。

b．如果资产组合以118421美元买入，给定预期的收入为135000美元，则期望收益率E（r）满足：118421×［1＋E（r）］＝135000（美元）。因此E（r）＝14%。资产组合的价格被设定为使必要回报率与预期收益率相等。

c．如果国库券的风险溢价为12%，则必要回报率为6%＋12%＝18%。资产组合的现值为135000/1.18＝114407（美元）。

5．考虑一个期望收益率为12%、标准差为18%的组合。短期国债收益率为7%。投资者仍然偏好风险资产所允许的最大风险厌恶系数是多少？

答：设效用为U＝E（r）－0.5Aσ²，国库券的效用为7%，风险资产组合的效用为U＝0.12－0.5×A×（0.18）²＝0.12－0.0162×A。要使风险资产组合优于国库券，下列不等式必须成立：0.12－0.0162A＞0.07A＜0.05/0.0162＝3.09。

因此，要使风险资产组合优于国库券，A必须小于3.09。

6．画出A＝3的投资者效用水平0.05的无差异曲线。

答：曲线上的点是通过求下式中的E（r）得出的：

U＝0.05＝E（r）－0.5Aσ²＝E（r）－1.5σ²

给定σ²的值，E（r）值如下：

下图中的粗线即为该投资者的无差异曲线。

图6-4  无差异曲线

7.A＝4的投资者呢？回答第6题。

答：重复习题6的分析，投资者的效用为：

U＝E（r）－0.5Aσ²＝E（r）－2.0σ²＝0.05

下表所列的是预期收益率和标准差的等效用组合。其无差异曲线即为习题6图中标为Q7的向上倾斜的曲线。

习题6与习题7中的无差异曲线的斜率不同。当A从3增加为4时，随着投资者风险厌恶的程度增大，无差异曲线的斜率也增大，因为需要更多的预期收益来补偿增加的σ。A＝4的投资者的无差异曲线如图6-4所示。

8．画出风险中性投资者效用水平0.05的无差异曲线。

答：风险中性投资者风险厌恶系数为零。因此，其对应的效用等于资产组合的预期收益率。相应的无差异曲线在期望收益-标准差平面是一条水平线，如图6-4中标为Q8的直线所示。

9．风险喜好者的风险厌恶系数A是怎样的？用图形表示一个效用值为0.05的风险喜好型投资者的无差异曲线。

答：风险喜好者非但不会因风险而降低资产组合的效用，反而会随着方差的增加获得更大的效用。这将导致负的风险厌恶系数。相应的无差异曲线向下倾斜，如图6-4中标为Q9的曲线所示。

习题10～12，考虑历史数据，过去80年标准普尔500的平均年收益约为8%，标准差20%，当前短期国债利率为5%。

10．计算组合期望收益和组合方差。投资比例如表6-1所示。

表6-1

答：资产组合的预期收益率和方差计算如下：

11．计算效用水平，A＝2，你得到什么结果？

答：根据U＝E（r）－0.5×Aσ²＝E（r）－σ²计算效用，可得出下表：

效用栏U（A＝2）表明：对于A＝2的投资者来说，相比表中的其他资产组合，他最为偏好100%投资于市场指数。

12.A＝3呢？

答：上表中效用栏U（A＝3）是根据U＝E（r）－0.5Aσ²＝E（r）－1.5σ²计算得来的。它表明风险厌恶程度更高的投资者会偏好投资40%于市场，而不是像A＝2的投资者那样100%投资于市场指数。

回答习题13～19，你管理一个风险组合，期望收益率为18%，标准差28%，短期国债利率8%。

13．你的客户选择投资70%于你的基金，30%于短期国债。他组合的期望收益率和方差是多少？

答：期望收益率＝（0.7×18%）＋（0.3×8%）＝15%，标准差＝0.7×28%＝19.6%。

14．假设你的风险组合投资如表6-2所示。

表6-2

那么你的客户的投资头寸是怎样的？

答：投资比例：30.0%投资于国库券；17.5%（＝0.7×25%）投资于股票A；22.4%（＝0.7×32%）投资于股票B；30.1%（＝0.7×43%）投资于股票C。

15．你的组合报酬-波动性比率是多少？你客户的呢？

答：报酬-波动性比率为：

客户的报酬-波动性比率为：

16．画出你的组合的资本配置线，斜率是多少？

答：

17．假设你的客户投资于你的组合权重为y，期望收益率为16%

a．y是多少？

b．你客户组合的收益标准差是多少？

答：a．E（r_C）＝r_f＋y×［E（r_P）－r_f］＝0.08＋y×（0.18－0.08）

如果资产组合的期望收益率为16%，则：16%＝8%＋10%×

y

因此，为了得到期望收益率为16%的资产组合，客户必须将总基金的80%投资于风险资产组合，20%投资于国库券。

b．客户组合的收益标准差为σ_C＝0.8×σ_P＝0.8×28%＝22.4%。

18．假设你的客户偏好在标准差不大于18%的情况下最大化期望收益率，那么他的投资组合是怎样的？

答：σ_C＝y×28%

如果客户希望标准差不超过18%，则y＝18/28＝0.6429＝64.29%，即64.29%应投资于风险资产组合。

19．你客户的风险厌恶系数为A＝3.5，他如何投资？

因此，客户的最优投资组合为：36.44%投资于风险资产组合，63.56%投资于国库券。

20．参见教材表6-7中的关于标准普尔500超出无风险收益率的风险溢价以及风险溢价标准差数据。假设标准普尔500指数是你的风险投资组合。

a．如果A＝4，并假设1926～2009年很好地代表了未来表现的预期，你将分配多少投资到短期国债，多少到股票？

b．如果你认为1968～1988年才可以代表未来，你如何投资呢？

c．比较以上a和b的答案，你能得出什么样的结论？

答：a．如果假设1926～2009年很好地代表了未来表现的预期，那么用以下数据计算投资于股票的比例（用教材表6-7中风险溢价的标准差）：

A＝4，E（r_M）－r_f＝7.93%，σ_M＝20.81%

则可得y*＝

因此，资产组合的45.78%应分配给股票，54.22%分配给国库券。

b．如果假设1968～1988年很好地代表了未来表现的预期，那么用以下数据计算投资于股票的比例：

A＝4，E（r_M）－r_f＝3.44%，σ_M＝16.71%

则可得y^*＝

因此，资产组合的30.80%应分配给股票，69.20%分配给国库券。

c．在b中，市场风险溢价预期低于a，市场风险高于a。因此，b中的报酬-波动性比率会较低，这也解释了b中将更大的比例投资给了国库券的原因。

21．考虑以下关于你的风险组合的信息，E（r_P）＝11%，σ_P＝15%，r_f＝5%。

a．你的客户想要投资一定比例于你的风险组合，以获得期望收益率8%。他投资的比例是多少？

b．他的组合标准差是多少？

c．另一个客户在标准差不超过12%的情况下最大化收益水平，他投资的比例是多少？

答：a．E（r_C）＝8%＝5%＋y×（11%－5%）y＝＝0.5。

b．σ_C＝y×σ_P＝0.50×15%＝7.5%。

c．第一个客户更厌恶风险，只能允许一个较小的标准差。σ_C＝y×σ_P＝y×15%=12%，得到y=0.8，即80%投资于风险组合。

22．投资管理公司IMI使用资本市场线来提供资本配置建议。IMI有以下预测：市场组合期望收益率12%，标准差20%，无风险收益率5%。约翰逊寻求IMI的投资建议，他想要投资组合的标准差为市场组合的一半。IMI可以为约翰逊提供怎样的期望收益率？

答：约翰逊要求资产组合的标准差为市场资产组合标准差的一半。市场资产组合σ_M＝20%，则σ_P＝10%。资本市场线的截距为r_f＝0.05，其斜率为市场资产组合的夏普比率（35%）。因此利用市场资本线可得：

＝0.05＋0.35×0.10＝0.085＝8.5%。

习题23～26：假设借款利率为9%，标准普尔500指数期望收益率为13%，标准差为25%，无风险利率为5%，你的基金情况同习题21一样。

23．考虑到更高的借款利率时画出你的客户的资本市场线，叠加两个无差异曲线，一是当客户借入资金时的；二是投资于市场指数基金和货币市场基金时的。

答：已知数据为：r_f＝5%，E（r_M）＝13%，σ_M＝25%，＝9%。则资本市场线和无差异曲线如下图：

24．在投资者选择既不借入资金也不贷出资金时其风险厌恶系数范围是什么，即当y＝1时？

答：当y＜1（即投资者是贷款人）时，风险厌恶系数（A）必须满足：

当y＞1（即投资者是借款人）时，A必须满足：

对于在此范围内的风险厌恶值，客户既不向人借钱也不借钱给别人，而是持有仅包含最优风险资产组合的投资组合。因此，当y＝1时，0.64≤A≤1.28。

25．当投资者投资你的基金而不是市场指数基金时，回答习题23和习题24。

答：a．再次画出习题23的图，此时E（r_P）＝11%，σ_P＝15%。

b．对于贷款头寸：

对于借款头寸：

因此，当y＝1时，0.89≤A≤2.67。

26．贷出资金（y＜1）的投资者最多愿意支付多少管理费？借入资金（y＞1）的呢？

答：最大的可行费用视报酬-波动性比率而定，设为f。

当y<1，贷款利率5%被视为相关的无风险利率时，解关于f的方程：

当y>1，借款利率9%被视为相关的无风险利率时，注意到即使没有费用，积极型基金也劣于消极型基金，因为：更愿意承受风险的投资者（更愿意借钱），即使没有费用也不愿意成为基金的客户。（如果解费用方程——使得借款的投资者对消极型和积极型的基金无偏好，会发现f是负值，即要让其选择你的基金，你必须支付一笔补贴）原因在于投资者倾向于整个资产组合有高风险-高收益，因此他们在资本配置线的相应的借款区域内。在这一区域内指数（消极型基金）的报酬与波动性比率比管理型基金要好。

回答挑战性习题27～28：你估计一个跟踪标准普尔500指数的被动证券组合的期望收益率为13%，标准差为25%。你经营一个积极组合，期望收益率为18%，标准差为28%，无风险利率为8%。

27．在收益-标准差二维平面上画出资本市场线和你的组合。

a．资本配置线的斜率是多少？

b．用一段话描述你的组合较被动组合的优势？

答：a．资本市场线斜率＝

图形如下：

b．基金允许投资者在任一给定的标准差条件下获得比消极策略更高的均值，也就是任意给定风险水平下更高的期望收益率。

28．你的客户犹豫是否要将投资于你的组合的70%的资金转移到被动组合中。

a．你如何告诫他这种转换的坏处？

b．告诉他保证他获得和被动组合同等效用时的最高管理费（年末按一定投资比例收取）是多少？（提示：管理费将通过降低净期望收益从而减小资本配置线的斜率。）

答：a．客户将70%的资金投资于基金资产组合，其期望收益率是每年15%，标准差是每年19.6%。如果他将资金转移到被动资产组合（期望收益为13%，标准差为25%），则其整体期望收益变为：

E（r_C）＝r_f＋0.7×［E（r_M）－r_f］＝0.08＋［0.7×（0.13－0.08）］＝0.115＝11.5%

被动组合的资产组合标准差为：

σ_C＝0.7×σ_M＝0.7×25%＝17.5%

因此转换意味着均值从15%减少到11.5%，标准差从19.6%减少到17.5%。因为平均收益和标准差都减少了，故不能判断转换是否有利。转变的不利之处在于，如果这位客户愿意接受其总资产有11.5%的平均收益率，他可以通过基金的资产组合以更低的标准差来实现，而不是使用消极型资产组合。

要达到均值为11.5%的目标，先将总资产组合的平均收益看作基金投资比例（y）的函数：

E（r_C）＝0.08＋y×（0.18－0.08）＝0.08＋0.10×y

因为目标为E（r_C）＝11.5%，所以投资于基金的比例应为：

0.115＝0.08＋0.10×y＝0.35

投资组合的标准差为：

σ_C=y×28%＝0.35×28%＝9.8%

因此，通过投资于基金资产组合，同样的11.5%的期望收益率可以在标准差为9.8%的条件下得到，而不是消极型资产组合的17.5%的标准差。

b．费用将会降低报酬-波动性比率，即资本配置线的斜率。如果付费后资本配置线和资本市场线的斜率相等，客户不管选择基金还是被动投资组合都一样。设f为费用：

有费用的资本配置线的斜率＝

资本市场线斜率（无费用）＝

使两斜率相等可得：

29．考虑问题19中A＝3.5的情况：

a．如果他投资于被动组合，比例y是多少？

b．通过改变你客户的资本配置决策（即y的选取），当他觉得投资于你的组合和被动组合没有差异时，你所能征收的最高管理费用是多少？

答：a．投资于被动组合的最优比例的方程为：

将E（r_M）＝13%，r_f＝8%，σ_M＝25%，A＝3.5代入上式可得：

即将22.86%投资于被动资产组合。

b．答案参见习题28的b。不论客户如何配置资产，可以向客户征收的费用都相同。即可以征收使资产组合的报酬-波动性比率与竞争者相等的费用。

二、CFA考题

用表6-3中的数据回答问题1~3。

表6-3

U=E（r）-1/2Aσ²，A=4

1．根据以上效用函数，当你的风险厌恶系数A＝4时，你会选择哪个投资？

答：每种投资的效用＝E（r）－0.5×4×σ²。选择效用最高的投资，投资3。

2．如果你是风险中性投资者呢？

答：若投资者是风险中性的，此时A＝0。效用最高的投资是投资4，因为它具有最高的期望收益率。

3．效用函数中的参数A代表：

a．投资者的收益回报要求

b．投资者的风险厌恶程度

c．确定性等价收益率

d．关于1个单位收益与4个单位风险交换的偏好

答：b。

根据下图回答CFA考题4～5。

4．哪条无差异曲线反映了投资者可以达到的最大效用水平？

答：无差异曲线2。

5．哪个点标出了最佳的风险投资组合？

答：F点。

6．假设投资总额为100000美元，表6-4中投资于股票和债券的预期风险溢价（以美元表示）是多少？

表6-4

答：（0.6×50000）＋［0.4×（-30000）］－5000＝13000（美元）。

7．资本配置线由直线变成弯曲是因为：

a．报酬-波动性比率增长；

b．借入资金利率高于贷出资金利率；

c．投资者风险容忍度降低；

d．组合中无风险资产比重上升。

答：b。

8．你管理着一个股票基金，其预期风险溢价为12%，预期标准差为12%。短期国债利率为6%。你的客户决定向你的基金投资60000美元，投资于短期国债40000美元。你客户组合的期望收益和标准差为多少？

答：股票基金的收益率（%）＝国库券利率＋风险溢价＝6%＋12%＝18%；

客户资产组合的期望收益率＝（0.6×18%）＋（0.4×6%）＝13.2%；

客户资产组合的期望收益＝13.2%×100000＝13200（美元），这表明到期时预期的总财富＝113200美元；

客户整体资产组合的标准差＝0.6×12%＝7.2%。

9．考题8中股票基金的报酬-波动性比率是多少？

答：报酬-波动性比率＝