6.3　名校考研真题详解

【例6.1】证明：若消费者的全部收入只购买两种商品，那么这两种商品不可能都是劣等品。[南开大学2003研；对外经济贸易大学2010研；中南大学2011研]

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证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设是第种商品的马歇尔需求函数，那么商品是劣等品就意味着。对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：

　①

①式两边关于收入求导，得到：

　②

对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。

下面来证明本题的结论，假设商品1和2都是劣等品，那么就有，1或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。

【例6.2】用户在A网络与B网络之间选择通话时间，其中他消费的A网络通话时间为，B网络通话时间为。他的效用函数为。试求A和B网络通话时间各自的需求函数。[清华大学2011研]

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解：设A网络通话的单价为，B网络通话的单价为，通话预算为，则预算约束为。

显然效用函数也是一条直线，而且边际替代率为1，和是完全替代商品，于是最优消费点在角点处（即预算线与纵轴、横轴的交点）或整个预算线上获得。

（1）当预算线斜率绝对值时，也就是当时，消费者在预算线与横轴的交点处获得最优消费，此时，，这就是B网络和A网络的需求函数。

（2）当预算线斜率绝对值时，也就是当时，消费者在预算线与纵轴的交点处获得最优消费，此时，，这就是A网络和B网络的需求函数。

（3）当预算线斜率绝对值时，预算线和效用线重合的点是最优消费点，此时预算线上所有点都是最优消费点，A网络和B网络的需求函数分别为，。