第三章　比例问题

1．甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？（　　）[北京市2014年真题]

A．400

B．420

C．440

D．460

【答案】C

【解析】设甲乙工厂生产零件数分别为x、y，根据题意有x＝1.5y＋40，y＝x/2＋20，

解得：x＝280，y＝160。则共生产零件280＋160＝440。

2．某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。如果将乙车间工人的调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。问原来乙车间比甲车间多多少人？（　　）[北京市2013年真题]

A．12

B．24

C．36

D．48

【答案】D

【解析】设乙车间原有x人，“将乙车间工人的调到甲车间”后，乙车间剩x人，此时，“甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件”，即甲车间比乙车间多了＝8人，则甲车间为x＋8人。则有x＋（x＋8）＝120，x＝84。故原来乙车间比甲车间多84－（120－84）＝48人。

3．三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍。如果乙和丙一起分拣所有的快件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能够完成所有快件的分拣工作？（　　）[北京市2012年真题]

A．1小时45分

B．2小时

C．2小时15分

D．2小时30分

【答案】C

【解析】设甲的效率是2，则乙、丙的效率都是3。设总量是X，则－＝36，得X＝1080，因此三人一起拣的时间是1080÷（2＋3＋3）＝135分钟，即2小时15分钟。

4．10个完全一样的杯子，其中6个杯子装有10克酒精，4个杯子装有10克纯水。如果从中随机拿出4个杯子将其中的液体进行混合，问最终得到50%酒精溶液的可能性是得到75%酒精溶液的可能性的多少倍？（　　）[北京市2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】每个杯子液体质量均为10克，4杯液体的总质量为40克。若混合液浓度为50%，则要求酒精为20克，即2杯，此时水应该也为2杯；混合液浓度为75%，则要求酒精为30克，即3杯，水应该为1杯。即50%浓度混合液的概率为，得到75%浓度混合液的概率为，即得到50%浓度混合液的概率是75%的倍。

5．某工程班被派去抢修灾区路面，工程完成时，一半人员被调去救援被困群众，剩下一半人员继续工作4小时后，两个新兵班被调来支援抢修，每个新兵班的效率是工程班的35%，最终比原计划提前3小时完工，请问原定几小时完工？（　　）

A．48

B．42

C．54

D．60

【答案】A

【解析】设原定X小时完工，则由题意可知，1＝＋×4＋（＋×35%×2）×（－4－3），得X＝48。即工程班原定48小时完工。

6．某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3:4:5。甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】由题意可知，A工程的工作量为25×3＝75份，B为5×9＝45份。因为两个工程同时开工同时竣工，且三个队都始终在干，就相当于将AB工程合于一处，且始终为甲乙丙合作，因此完成时间为（75＋45）÷（3＋4＋5）＝10天。在这10天中，乙可以完成10×4＝40份，剩下75－40＝35份，丙来完成，所以丙帮乙队做了

35÷5＝7天。

7．小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（　　）

A．1

B．1.5

C．2

D．3

【答案】C

【解析】令小张每小时的工作量为3，则小赵每小时的工作量为2，设再过x小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍，则2×9＋3x＝4×（2＋2x），得x＝2小时。

8．甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙杯中取出相同质量的溶液，把从甲杯取出的倒入乙杯中，把从乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？（　　）

A．20%

B．20.6%

C．21.2%

D．21.4%

【答案】B

【解析】由题意可知，使甲、乙两杯溶液的浓度相同即甲、乙两杯溶液混合在一起后的浓度，为（400×17%＋600×23%）÷（400＋600）＝20.6%。

9．一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天。甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲乙两队留下继续工作。那么，开工22天后，这项工程（　　）。

A．已经完工

B．余下的量需甲乙两队共同工作1天

C．余下的量需乙丙两队共同工作1天

D．余下的量需甲乙丙三队共同工作1天

【答案】D

【解析】假设甲、乙、丙的效率分别为3、3、4，总工程量为150，则开工22天后还剩工作量150－3×22－3×22－4×22＝10，即所剩的工程只需三人再合作1天就可完成。

10．一项工程，乙单独做要17天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工程要多少天完成？（　　）

A．30天

B．8.5天

C．34天

D．17.5天

【答案】B

【解析】由题意可知，乙先做比甲先做要多用半天，则甲先做时，完成的天数一定是奇数，两次过程可表示为：甲乙甲乙……甲乙甲，乙甲乙甲……乙甲乙，则有甲＝乙＋甲÷2，即甲的效率是乙的两倍，则甲单独完工需要17÷2＝8.5天。

11．木材原来的水分含量为28%，由于挥发，现在的水分含量为10%，则现在这些木材的重量是原来的（　　）。

A．50%

B．60%

C．70%

D．80%

【答案】D

【解析】将纯木材的量赋值为72，由题意可知，纯木材的比例最初为1－28%＝72%，水分挥发后为纯木材的比例是1－10%＝90%，故原木材（含水分）重量为100，现在木材（含水分）重量为72÷90%＝80，是原来的80%。

12．某街道常住人口与外来人口之比为1:2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口比为12:8:7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1:3，乙社区为3:5，则丙社区常住人口与外来人比为（　　）。[北京市2012年真题]

A．2:3

B．1:2

C．1:3

D．3:4

【答案】D

【解析】设甲、乙、丙社区分别有12、8、7人，则街道总人数为27人，常住人口与外来人口分别有9人和18人，甲社区常住人口与外来人口分别有3人和9人，乙社区常住人口与外来人口分别有3人和5人，则丙社区常住人口与外来人口分别有9－3－3＝3人和18－9－5＝4人，比例为3:4。

13．将大米300袋、面粉210袋和食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1:3:2，则该村有多少户村民？（　  ）[北京市2010年真题]

A．7

B．9

C．13

D．23

【答案】D

【解析】设每户分了a袋大米、b袋面粉和c袋食用盐，剩余的大米、面粉、食用盐的袋数分别是k、3k、2k，则有（300－k）÷a＝（210－3k）÷b＝（163－2k）÷c；一个村庄里的村民一般至少为几十家，先将23代入等式，即验证300－k，210－3k，163－2k是否均为23的整数倍，k＝1时，满足要求。因此D项正确。

14．一个产品生产线分为a、b、c三段，每个人每小时分别完成10，5，6件，现在总人数为71人，要使得完成的件数最大，71人的安排分别是（　　）。

A．14:28:29

B．15:31:25

C．16:32:23

D．17:33:21

【答案】B

【解析】方法一：A项错误，效率越低，人应越多，故14:28:29不符合。71人的安排为15:31:25时，三条生产线的量分别为150，155，150，可生产件数150；71人的安排为16:32:23时，三条生产线的量分别为160，160，138，可生产件数138；71人的安排为17:33:21时，三条生产线的量分别为170，165，126，可生产件数126。即生产件数最多为150，因此B项正确。

方法二：一个产品生产线分为abc三段，abc三段加一起才算一件，要使得完成的件数最大，就需要abc每段在每小时内完成的件数相等，设最后生产了x件产品，生产a、b、c部件需要的人数比为::＝3:6:5，则71人按照这个比例分配，71÷（3＋5＋6）＝5…1，因此隔断人数为3×5＝15，5×5＝25，6×5＝30，剩下一人任意分配，其工作不影响最终的产品数量。

15．受原材料涨价影响，某产品的总成本比之前上涨了，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点。问原材料的价格上涨了多少？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设产品原来的总成本为15，则现在的总成本为16，故原材料的成本上涨了1。设之前的原材料成本为x，由题意得－＝2.5%，得x＝9，因此原材料的价格上涨了。

16．某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分类平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人？（　　）

A．36

B．37

C．39

D．41

【答案】D

【解析】设每个钢琴教师带x个学生，每个拉丁舞教师带y个学生，由题意可得5x＋6y＝76。则x为偶数，且x与y均为质数，因此x＝2，代入得y＝11。因此在学生人数减少后，还剩下学员4×2＋3×11＝41个。