第四章　几何问题

1．在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是除池塘之外草坪面积的1/3，则池塘的长和宽之比为（　　）。[北京市2014年真题]

A．1:1

B．2:1

C．4:1

D．

【答案】A

【解析】设正方形长为2，则周长为8，面积为4。池塘面积为除池塘之外草坪面积的，也即为正方形面积的，所以池塘面积为1。设矩形池塘长宽分别为a、b，则有，解得a＝b＝1。长宽之比为1:1。因此A项正确。

2．阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆的高度为（　　）。[北京市2013年真题]

A．12米

B．14米

C．15米

D．16米

【答案】C

【解析】由题意可知，真实长度与影子长度之比为2:1，墙面部分的影子长度投影到地面上才是该部分真实的影子长度，即电线杆的影子总长为7＋0.5＝7.5米，则电线杆的高度为7.5×2＝15米。

3.A和B为正方体两个相对的顶点，一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B，则其可选择的路线有几条？（　　）[北京市2013年真题]

A．2

B．3

C．6

D．12

【答案】C

【解析】如下图所示，以A为顶点有三个面，每个面均有2条最短路径，共有2×3＝6条线路。

4．某公司要在长、宽、高分别为50米、40米、30米的长方体建筑物的表面架设专用电路管道连接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于（　　）。[北京市2012年真题]

A．70～80米之间

B．60～70米之间

C．90～100米之间

D．80～90米之间

【答案】D

【解析】长方体的侧面的一半展开图如下：

如图最远的端点是A、D点，架设的管道应相交在长方体的棱上，设交点为E，所求应为AD＝，AC有可能是70，80，90，对应的CD是50，40，30，且AD＝＝，AB，BC，CD的平方和是确定的，若使长度最短则需让2AB×BC最小，在三个数字当中选较小的两个，30和40，则最短管道长度是：＝＝，即预设的最短管道长度在80至90米之间。

5．3颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，这3颗卫星距地球最短距离为（　　）。[北京市2012年真题]

A．R

B．2R

C．R

D．R

【答案】A

【解析】设地球为球形，三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点，由直角三角形中30°角的性质可知，气象卫星距离地心的距离为2R，则气象卫星距离地球的最近距离为R。

6．一条路上依次有A、B、C三个站点，加油站M恰好位于AC的中点，加油站N恰好位于BC的中点。若想知道M和N两个加油站之间的距离，只需要知道哪两点之间的距离？（　　）[北京市2011年真题]

A．CN

B．BC

C．AM

D．AB

【答案】D

【解析】M与N点都涉及的顶点为C点，则MN＝MC－NC＝－＝＝，即只需要知道AB两点之间的距离。

7．用一个平面将一个边长为1的正四面体切分为两个完全相同的部分，则切面的最大面积为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】切分为两个完全相同的部分，有两种切法，如下图所示：左侧的截面面积不如右侧截面面积大。右侧切法为沿着一条棱向对棱切去，另两条边分别为两个侧面的高，故切面三角形为等腰三角形。棱长为1，则切面三角形中的另外两条边长为，由勾股定理可知，棱长上的高为＝。因此切面的面积为

×1×＝。

8．一个底面面积为20cm²的圆柱形容器里装有一定量的水，一根底面面积为10cm²的圆柱形铁棒浸没在水中。取出铁棒后，水面下降了5cm。请问铁棒的长度是多少？（　  ）

A．2.5cm

B．5cm

C．8cm

D．10cm

【答案】D

【解析】V＝Sh，下降部分水的体积等于铁棒的体积，则S_铁棒·h_铁棒＝S_水·h_水，h_铁棒＝S_水÷h_水＝20÷10×5＝10cm。

9．某个装有一层12听可乐的箱子，现在要向箱子中的空隙放入填充物，已知每听可乐直径为6㎝，高12㎝。则至少要向该箱子放多少填充物？（　　）

A．835㎝³

B．975㎝³

C．1005㎝³

D．1115㎝³

【答案】D

【解析】由题意可知，恰好装满这12听可乐的箱子的底面积应为6×6×12＝432cm²，且要使填充物放得最少，则箱子要与可乐同高。至少要向该箱子放入432×12－9×12×12≈1115cm³的填充物。

10．为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到？（　　）

A．4

B．7

C．6

D．9

【答案】B

【解析】每个喷头形成一个半径为5米的小圆，花坛为一个半径为10米的大圆，则每个小圆至多盖住圆心角为60°所对应的弧长，想盖住整个圆圈，至少需要六个小圆，并且当且仅当这六个小圆以大圆的内接正六边形各边中点为圆心进行覆盖，而此时大圆的圆心处尚未被覆盖，还需要一个小圆才能完成覆盖，即至少要布置7个喷头才能保证每个角落都能浇灌到。

11．如图所示，以大圆的一条直径上的七个点为圆心，画出七个紧密相连的小圆。请问，大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较，结果是（　　）。

A．大圆的周长大于小圆的周长之和

B．小圆的周长之和大于大圆的周长

C．一样长

D．无法判断

【答案】C

【解析】设小圆的直径从上到下依次为d₁、d₂……d₆、d₇，，则小圆的周长分别为c₁＝∏×d₁，c₂＝∏×d₂，……

c₆＝∏×d₆，c₇＝∏×d₇。c1＋c2＋c3＋c4＋c5＋c6＋c7＝∏×（d1＋d2＋d3＋d4＋d5＋d6＋d7）＝∏×D（大圆直径）＝C（大圆周长）。

12．在比例尺为1:1000000的地图上量得甲、乙两地的距离为15厘米，甲、丙两地的距离为12厘米，乙、丙两地的距离为9厘米，并量得丁地与甲、乙两地的距离都为7.5厘米，问丙、丁两地的实际距离为多少公里？（　  ）

A．90

B．120

C．75

D．150

【答案】C

【解析】由于9²＋12²＝15²，所以甲、乙、丙三地构成直角三角形，丁为甲、乙的中点。根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半可知，丙、丁的距离为甲、乙的一半，即15÷2＝7.5厘米，因此丙、丁的实际距离为7.5×1000000＝7500000厘米＝75公里。

13．下图中，图形的周长是多少厘米？（　　）（图中的长度单位为厘米）

A．112

B．118

C．124

D．130

【答案】C

【解析】如下图所示，将图中的几条线段进行平移后可知，除了中间还剩余两段6厘米的线段外，其余部分拼接为一个长32、宽24的长方形，因此原图形的周长为（24＋32＋6）×2＝124厘米。

14．科考队员在冰面上钻孔获取样本，测量不同孔心之间的距离，获得的部分数据分别为1米、3米、6米、12米、24米、48米。问科考队员至少钻了多少个孔？（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】D

【解析】所测距离组成一个数列1、3、6、12、24、48，该数列中任一项均大于其前面所有项之和，则这6条线段不可能组成封闭回路，即6条线段最少7个端点，至少钻7个孔。