6.2　课后习题详解

1设某消费者只消费两种商品，而且他总是花光他的全部货币，在这种情况下，这两种商品有可能都是低档商品吗？

答：在这种情况下，这两种商品不可能都是低档商品。

分析如下：低档商品是指随着收入的增加，其需求减少，即满足的商品。在题目的假设下，如果消费者消费的两种商品都是低档商品，那么假设商品价格不变，则收入增加后，消费者对两种商品的需求都会减少，这个时候消费者不可能将她的收入全部花光，与题中的假设相矛盾。

这个问题也可以用数学方法来证明：假设消费者的预算线为p₁x₁＋p₂x₂＝m，因为消费者总是花光她的全部收入，所以此式恒成立。

预算线等式两边同时对收入求导得：

如果两种商品都是低档商品，那么dx₁/dm与dx₂/dm都小于0，求导后得出的式子两端不可能相等，因此不可能两种商品都是低档商品。

2证明完全替代是相似偏好的一个特例。

证明：如果两种商品1和2之间可以按照固定的比例替代，就说商品1是2的完全替代品（或者说商品2是1的完全替代品）。相似偏好是指如果消费者对（x₁，x₂）的偏好甚于（y₁，y₂），则对任意的t＞0，该消费者对（tx₁，tx₂）的偏好甚于（ty₁，ty₂）。

下面来证明完全替代是相似偏好的一个特例。

由于完全替代偏好的效用函数是u（x₁，x₂）＝x₁＋x₂（假设替代比例为1∶1），如果u（x₁，x₂）＞u（y₁，y₂），那么有x₁＋x₂＞y₁＋y₂。因此对于任何的正值t，都会有tx₁＋tx₂＞ty₁＋ty₂，可得u（tx₁，tx₂）＞u（ty₁，ty₂），所以完全替代是相似偏好的一个特例。

3证明柯布-道格拉斯偏好是相似偏好。

证明：相似偏好是指如果消费者对（x₁，x₂）的偏好甚于（y₁，y₂），则对任意的t＞0，该消费者对（tx₁，tx₂）的偏好甚于（ty₁，ty₂）。

柯布-道格拉斯效用函数为：

u（x₁，x₂）＝x₁^ax₂^1－a

所以：

u（tx₁，tx₂）＝（tx₁）^a（tx₂）^1－a＝tx₁^ax₂^1－a＝tu（x₁，x₂）

如果有u（x₁，x₂）＞u（y₁，y₂），那么对于任何正值t，就一定有：

u（tx₁，tx₂）＝tu（x₁，x₂）＞tu（y₁，y₂）＝u（ty₁，ty₂）

即u（tx₁，tx₂）＞u（ty₁，ty₂），原命题得证。

4收入提供曲线对应恩格尔曲线，就像价格提供曲线对应什么曲线？

答：收入提供曲线对应恩格尔曲线，就像价格提供曲线对应需求曲线。

分析如下：假定价格不变，只有收入发生变化，此时如果考虑消费者对两种商品的消费状况的变化得到的对应不同收入的不同最优消费束，那么得到的是收入提供曲线；如果只考虑一种消费品的变化而得到对应不同的收入的同一商品的最优消费量，那么得到的就是恩格尔曲线，如图6-11所示。

图6-11　收入提供曲线和恩格尔曲线

同样，在消费者偏好、收入和其他商品价格不变的情况下，一种商品价格的变化，会影响到预算线的变化，不同价格水平下的预算线与无差异曲线切点的轨迹就是价格提供曲线；而如果此时只考虑其中一种商品消费状况的变化，那么得到的就是表示不同价格水平下的该商品不同最优消费量的需求曲线，如图6-12所示。

图6-12　价格提供线和需求曲线

综上所述，收入提供曲线对应恩格尔曲线，就像价格提供曲线对应需求曲线。

5如果偏好是凹的，消费者会一起消费两种商品吗？

答：如果偏好是凹性的，消费者不会同时消费两种商品。因为在这种情况下，消费者对预算线上端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好，所以消费者的最优选择是在两种商品中选择其中一种消费，而不会同时消费两种商品，如图6-13所示。

图6-13　凹性偏好

6汉堡包和小甜圆面包是互补品还是替代品？

答：汉堡包和小甜圆面包是互补品还是替代品要因人而异。

（1）如果人们在吃汉堡包的时候总是与小甜圆面包一起进行消费，那么二者就是互补品。因为一个人消费的汉堡包越多，他消费的小甜圆面包就越多；反之他消费的汉堡包越少，他消费的小甜圆面包也就越少，所以二者是互补品。

（2）如果人们在汉堡包与小甜圆面包之间选择一种进行消费而不是同时消费，二者均可以满足消费者对于面包类商品的效用需求，那么二者就是替代品。因为一个人在消费汉堡包时不会消费小甜圆面包，二者具有替代性。

7在完全互补的情况中，商品1的反需求函数是什么形式？

答：在完全互补的情况中，商品1的反需求函数为p₁＝m/x₁－p₂。

理由如下：如果消费者始终以固定的比例一起消费两种商品，就说这两种商品是完全互补品。完全互补品的效用函数是：min{x₁，x₂}，（更一般的这种类型的效用函数是：min{ax₁，bx₂}，但这种特殊形式并不影响分析且可简化证明过程），在预算约束下，消费者选择效用最大化，即：

于是，达到最优时，必须有x₁＝x₂（否则，如果x₁＞x₂，则适当减少x₁增加x₂，同样可保证原来的预算约束满足，但此时消费者的效用增大；如果x₁＜x₂，则适当增加x₁减少x₂，同样可保证原来的预算约束满足，但此时消费者的效用增大），于是预算约束就变为：p₁x₁＋p₂x₁＝m，从而解得：x₁＝m/（p₁＋p₂），即商品1的需求函数为x₁＝m/（p₁＋p₂），进而得到商品1的反需求函数为p₁＝m/x₁－p₂。

8如果需求函数是x₁＝－p₁，那么反需求函数就是x₁＝－1/p₁。这个结论对吗？

答：这个结论不对。反需求函数表示为价格对需求数量的函数，而非需求函数的反函数，因此由x₁＝－p₁可知反需求函数是p₁＝－x₁。