6.3　强化习题详解

1用下列效用函数推导对商品1的需求函数、反需求函数、恩格尔曲线；在图上大致画出价格提供曲线、收入提供曲线；说明商品1是否为正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品？商品2与商品1是替代还是互补关系。

（1）u＝2x₁＋x₂

（2）u＝min（x₁，2x₂）

（3）u＝x₁^ax₂^b

（4）u＝lnx₁＋x₂

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

通过求解最大化问题，得到商品1的需求函数为：

价格提供曲线如图6-14中加粗的线段和点所示。

图6-14　价格提供曲线

相应的收入提供曲线为：当p₁＜2p₂时，为坐标横轴；当p₁＝2p₂时，为全部第一象限；当p₁＞2p₂，为坐标纵轴。

反需求函数为：

恩格尔曲线为：如果p₁＜2p₂，那么恩格尔曲线为x₁＝m/p₁；如果p₁＝2p₂，那么恩格尔曲线是一个柱面，x₁∈（0，m/（2p₂）]；如果p₁＞2p₂，那么恩格尔曲线为x₁＝0。

x₁既是正常品（相对于劣等品而言），又是一般商品（相对于Giffen品而言）；x₂是x₁的替代品（其实是完全替代品）。

（2）消费者的效用最大化问题为：

x₁的需求函数为：x₁＝2m/（2p₁＋p₂），其中p₂，m是参数，p₁是自变量。

相应的反需求函数为：

p₁＝m/x₁－p₂/2

x₁的恩格尔曲线为：

x₁＝2m/（2p₁＋p₂），其中p₁，p₂是参数，m是自变量。

价格提供曲线如图6-15中的射线OA（x₂＝x₁/2，x₁＜2m/p₂）所示。

图6-15　价格提供曲线

收入提供曲线如图6-16中的射线OA（x₂＝x₁/2）所示。

图6-16　收入提供曲线

x₁既是正常品，又是普通品，同时也是x₂的互补品。

（3）消费者的效用最大化问题为：

通过求解最大化问题，得到商品1的需求函数为x₁＝am/[（a＋b）p₁]，其中p₁是自变量。反需求函数为p₁＝am/[（a＋b）x₁]。恩格尔曲线为x₁＝am/[（a＋b）p₁]，其中p₁，p₂是参数，m是自变量。

x₁的价格提供曲线如图6-17中的曲线AB所示。

商品1既是正常品，又是普通品，但是和商品2没有总替代或者总互补关系。

图6-17　收入提供曲线和价格提供曲线

（4）消费者的效用最大化问题为：

通过求解最大化问题，得到商品1的需求函数为：

相应的反需求函数为：

商品1的恩格尔曲线为：

m＞p₂时商品1的价格提供曲线（x₂＝m/p₂－1）如图6-18中的直线CD所示；m＜p₂时商品1的价格提供曲线（x₂＝0，并假设p₂＝1）如图6-18中的直线Ox₁所示。商品1的收入提供曲线如图6-18中的折线OAB所示。商品1既是正常品，又是普通品，并且是商品2的总替代品。

图6-18　收入提供曲线和价格提供曲线

2苹果的价格下降，生产苹果的果农对苹果的消费也下降，这一现象说明苹果一定是吉芬（Giffen）品。请问这个说法正确吗？

答：这个说法错误。理由如下：

假设苹果为正常商品，也有可能出现命题中所述现象。由于果农消费的是禀赋商品，一种可能的情况是：当苹果价格下降时，果农的收入减少，此时禀赋收入效应使果农对苹果的消费减少，而替代效应和普通的收入效应使果农对苹果消费增加。当前一种影响使果农对苹果的消费的减少量大于后一种影响使之对苹果消费的增加量时，就会出现苹果价格下降，果农对苹果的消费减少的现象。

3若某个消费者的偏好可以由效用函数U（x₁，x₂）＝（x₁＋x₂）³－5表示，那么对于该消费者而言，x₁和x₂是完全替代品。请问这个说法正确吗？

答：这个说法正确。理由如下：

由于效用函数的单调变换并不改变它所表示的偏好，那么原偏好也可以用效用函数U(＿)＝[U（x₁，x₂）＋5]^1/3＝x₁＋x₂表示，那么对于该消费者而言，x₁和x₂是完全替代品。

4证明当一个商品为吉芬品时，它一定是劣质品（inferior good）；而当一个商品为劣质品时，它不一定是吉芬品。

证明：根据斯拉茨基方程（其中h代表希克斯需求，w表示收入水平）：

当一个商品是吉芬品时有：∂x₁/∂p₁＞0；

故当时，一定有，即∂x₁/∂w＜0，说明该商品一定为劣质品。

而当一种商品为劣质品，即∂x₁/∂w＜0时，无法证明一定有∂x₁/∂p₁＞0，即该商品不一定就是吉芬品。

5对于拟线性偏好U（x₁，x₂）＝x₁^1/2＋x₂，商品x₂的恩格尔曲线是一条折线。这个说法对吗？

答：这个说法正确，理由如下：

如图6-19所示，对于拟线性偏好U＝x₁^1/2＋x₂来说，商品1具有“零收入效应”，因此对商品1的消费达到某个固定的需求量之后，对商品1的需求将不随收入的增加而增加；当收入较小时，对商品2的需求量为0，当对商品1的需求达到固定值以后，对商品2的消费随着收入的增加而一直增加，因此商品2的恩格尔曲线为一条折线。

图6-19　拟线性偏好的恩格尔曲线

6产品X的需求函数给定为P_X＝25－0.005Q＋0.15P_Y，其中P_X代表产品X的单位价格，Q代表每星期的销售数量，P_Y代表另一产品Y的单位价格。产品X的供给函数给定为：P_X＝5＋0.004Q。

（1）设P_Y＝10，计算X的均衡数量和均衡价格。

（2）X与Y是相互替代还是相互补充？

解：（1）令需求和供给相等就有：25－0.005Q＋0.15×10＝5＋0.004Q。

解得Q≈2389，把它代入产品X的需求曲线，就有：P_X＝25－0.005×2389＋0.15×10≈14.56。

（2）可求出X的需求函数为：Q＝（25＋0.15P_Y－P_X）/0.005。

由此易见Q和P_Y的关系：当其他条件保持不变时，这两个变量同向变动，说明X和Y是相互替代的。

7请回答：

（1）若食品和服装同为正常品时，收入提供曲线的斜率如何？

（2）若食品为正常品，而服装为劣等品，收入提供曲线的斜率如何？

答：（1）收入提供曲线向右上方倾斜的。这是因为收入的增加引起两种商品的消费都增加。

（2）若服装为劣等品，则收入提供曲线向右下方倾斜（服装为纵轴，食品为横轴）。因为收入增加后，食品的消费增加，但服装的消费下降。

8试述引起市场需求量变动的决定因素。

答：一种商品的需求是指消费者在一定时期内，在各种可能的价格水平上愿意并且能够购买的该商品的数量。因此，商品需求的变动受以下因素的影响：

（1）消费者的收入水平。消费者的收入水平提高时，会增加对正常品的需求量，减少对劣等品的需求量。相反，消费者收入水平下降时，会减少对正常品的需求量，增加对劣等品的需求量。例如，假设其他条件不变，收入增加，则对汽车的需求会增加，对黑白电视机的需求会减少。

（2）互补品的价格。在其他条件不变的情况下，某种商品的互补品的价格上涨，会导致对其需求的减少。例如，在其他条件不变的情况下，汽油价格上涨，则不但会引起对汽油的需求的减少，同时也会造成对汽油的互补品汽车的需求减少。

（3）替代品的价格。在其他条件不变的情况下，对某一特定商品而言，如其替代品的价格上涨，则会造成对此特定商品的需求的增加。例如，猪肉的价格上涨，则对猪肉的需求量下降了，但间接地导致对其替代品——牛肉的消费增加了。

（4）消费者的偏好。当消费者对某种商品的偏好程度增强时，该商品的需求量就会增加。相反，偏好程度减弱，需求量就会减少。

（5）消费者对商品的价格预期。当消费者预期某种商品的价格在将来某一时期会上升时，就会增加对该商品的现期需求量；当消费者预期某商品的价格在将来某一时期会下降时，就会减少对该商品的现期需求量。

9对中国的家庭来说，住房和食物都是最重要的消费品。假定一个代表性中国家庭仅仅消费x和y这两种物品，其中x是住房，y是食物。其效用函数如下式表示：U（x，y）＝U₁（x）＋U₂（y），其中U_i′＞0，U_i″＜0，i＝1，2。U₁和U₂可以不同。

请解释：

（1）这个效用函数的性质是什么？该性质和U_x，y有何关联？其经济含义是什么？

（2）证明：该效用函数下，每种物品都不可能是低档物品。

（3）该效用函数下，x和y是总替代品或者总互补品吗？为什么？

答：（1）该效用函数具有递增性，同时边际效用递减。对于x、y来说，总效用具有可加性，两种商品具有独立的边际效用，即∂²U/（∂y∂x）＝∂²U/（∂x∂y）＝0。其经济学含义是指，每增加一单位x（y）商品的消费所引起的效用增加量与y（x）的消费数量无关。同理，对于y也成立。

（2）低档物品是指需求量与消费者的收入水平反方向变化的物品。假设x是低档物品，且x和y价格不变，那么当收入增加时，x的需求量必然减少，相应地，y的需求量增加。由消费者效用最大化可知，收入提高前：MU_x/MU_y＝P_x/P_y，当收入提高后，同样有MU_x′/MU_y′＝P_x/P_y，而由U_i″＜0知，x与y的边际效用递减，因此有MU_x′＞MU_x，MU_y′＜MU_y，这与效用最大化的条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y＝MU_x′/MU_y′矛盾。所以，x不可能是低档物品。同理，y也不可能是低档物品。

（3）在该效用函数下，不能确定x和y是总替代品还是总互补品。原因在于：从给出的效用来看，两种商品具有独立的边际效用，一种商品价格的变化对另一种商品需求量的影响不确定。