第10章　跨时期选择

10.1　复习笔记

1总论

前几章在考察消费者最优选择行为时，没有考虑时间因素，即之前分析的是消费者在某一个特定时期的效用最大化问题，但实际上，一个理性的消费者在进行消费决策时，所考虑的不仅仅是某一特定时期的效用最大化问题，而是要考虑如何安排不同时期的消费行为，以实现一生的效用最大化的问题，即是一个跨时期的最优选择问题。

在跨时期消费选择计划中，理性的消费者在进行消费决策时，不会仅局限于当前的收入约束，他可能会进行借贷消费（此时他是一个借款者），也可能将当前收入的一部分节省下来以备未来所需（此时他是一个储蓄者和贷款者）。因此，跨时期选择问题实际上分析的是消费者如何规划自己在当前和未来的最优消费计划的问题。

2跨期模型的假设

（1）消费者只面临两个时期：时期1（现在）和时期2（未来）。可设想时期1为工作时期，时期2为退休时期。时期1的收入为m₁（工资收入），时期2的收入为m₂（一笔固定的养老金收入）。

（2）时期1和时期2的消费水平分别为c₁和c₂。

（3）消费者可在时期1和时期2之间进行借贷或储蓄，但在时期2结束时刚好用完其全部收入。

3跨时期预算约束线

（1）消费者跨时期选择行为与跨期预算约束线的推导分为以下三种情形：

①在时期1消费者花光他工作所得的全部工资收入，即c₁＝m₁，这意味着c₂＝m₂，如图10-1中的a点所示，在限值点a（m₁，m₂），消费者既不储蓄（S＝0）也不借贷（B＝0）。

图10-1　跨期预算线的推导

②消费者在时期1不将其工资收入全部花完，即消费者在时期1有储蓄，设储蓄为S（S＞0），利率为r，则：c₁＝m₁－S，c₂＝m₂＋（1＋r）S，如图10-1中的d点所示。

③消费者在时期1不仅消费掉他工作所得的全部工资收入，而且还借款消费，设借款为B（B＞0），则：c₁＝m₁＋B，c₂＝m₂－（1＋r）B，如图10-1中的f点所示。

（2）跨时期预算约束线的特征

消费者的预算约束方程为：c₂＝－（1＋r）c₁＋[（1＋r）m₁＋m₂]或（1＋r）c₁＋c₂＝（1＋r）m₁＋m₂，其特征如下：

①跨时期预算约束线的斜率为：－（1＋r）；

②跨时期预算约束线的纵截距为：（1＋r）m₁＋m₂，它表示当消费者在时期1的消费水平为0，即他将时期1的工资收入m₁全部用于储蓄的情况下，他在时期2可以达到的消费水平；

③跨时期预算约束线的横截距为：m₁＋m₂/（1＋r），表示消费者在时期1的最大消费数额，其中m₂/（1＋r）表示消费者以时期2的收入（m₂）做抵押所借到的最大消费贷款额的现值。

4预算线的变动

（1）利率r的变动

利率变动引起预算线绕初始禀赋点转动，如图10-2所示。

图10-2　利率变动对跨期预算线的影响

（2）m₁或m₂的变动

收入的变动会引起预算线的平移，如图10-3所示。

图10-3　收入变动对跨期预算线的影响

5跨期消费的均衡

（1）跨期均衡的数学表达

数学表达式为：

从而得到均衡条件为：u₁/u₂＝1＋r。

（2）贷款者（c₁＜m₁）的跨时期均衡（如图10-4所示）

图10-4　贷款者的跨期均衡

（3）借款者（c₁＞m₁）的跨期均衡（如图10-5所示）

图10-5　借款者的跨期均衡

6跨期均衡的比较静态分析

（1）利率变动对消费者跨时期均衡的影响

表10-1　利率变化前消费者是贷款者

表10-2　利率变化前消费者是借款者

图10-6　利率上升对贷款者跨期均衡的影响

图10-7　利率上升对借款者跨期均衡的影响

（2）斯勒茨基方程和跨时期选择

在终值预算约束下，提高利率如同提高今天消费相对于明天消费的价格。写出斯勒茨基方程，得到：

替代效应与价格变动的方向总是相反。在这种情况下，利率提高，时期1的消费价格上涨，替代效应表明消费者在时期1的消费会下降，这就是替代效应下方负号的含义。假设该时期消费的是正常商品，所以上式的最后一项——消费如何随着收入的变动而变动——取正值。整个表达式的符号就取决于（m₁－c₁）的符号。如果某人是借款者，那么这一项就是负的，从而整个表达式一定取负值——对于一个借款者来说，利率上升必定使他减少今天的消费。而对于一个贷款者来说，整体效应是不确定的。

7通货膨胀率对消费者跨时期均衡的影响

（1）存在通货膨胀时消费者跨时期预算约束线

或者：（1＋r）c₁＋（1＋π）c₂＝（1＋r）m₁＋（1＋π）m₂。

如图10-8所示。

图10-8　存在通货膨胀时消费者的跨期预算线

（2）通货膨胀率对跨期消费者均衡的影响

如果定义实际利率ρ＝（1＋r）/（1＋π）－1，那么存在通货膨胀时消费者跨时期预算约束线为：c₁＋c₂/（1＋ρ）＝m₁＋m₂/（1＋ρ），这个方程和不存在通货膨胀时的预算线完全相同，由于通货膨胀率对均衡的影响可以转化为实际利率对均衡的影响，而实际利率对均衡的影响的分析则可以利用前面的结论，所以通货膨胀对均衡的影响分析只需利用前面的结论即可。

8跨时期的现值分析

分析一个三时期的模型。

（1）假设在每个时期都能按利率r借贷货币，并且利率在三个时期内都保持不变。则预算约束方程为：

（2）假设利率是变化的，从时期1到时期2的储蓄利率是r₁，从时期2到时期3的储蓄利率是r₂，则预算约束方程为：