4　从毕达哥拉斯到微积分

数学王子高斯有一句名言“数学是科学的皇后”，17世纪英国哲学家弗朗西斯·培根也说过“数学是打开科学大门的钥匙”。可见数学对科学的重要性。下面我们就来探求一下，数学与科学的渊源到底有多深，数学是如何当上“皇后”的。

毕达哥拉斯之打铁声启发灵感

古希腊科学家们寻求万物的本源，泰勒斯认为本源是水，他的门徒们中，有人认为是“无形”，有人认为是气。赫拉克利特则说是火，毕达哥拉斯的观点最为奇特，他认为万物之本源是“数”。

毕达哥拉斯生于现属希腊的萨摩斯岛，离现属土耳其的米利都很近。据说毕达哥拉斯是米利都学派阿那克西曼德的学生，也曾直接受到泰勒斯的影响。这位古希腊的哲学老祖宗建议他前往埃及。后来，毕达哥拉斯不但旅居埃及，还去各地漫游，传说也曾到过印度，受到各方文化的影响，最终形成了他的“万物皆数”的观点，他对数字的喜爱和崇拜几乎到了走火入魔的地步，他创立的毕达哥拉斯学派把数的作用发挥到了极致，堪称“拜数字教”。

毕达哥拉斯发现了“毕达哥拉斯定理”，即“勾股定理”。古代巴比伦人和中国人都在更早的年代知道了勾股数，例如，公元前18世纪的巴比伦石板上，就已经记录了各种勾股数组，最大的是“18 541，12 709，13 500”，即：18 541²-12 709²=182 250 000=13 500²。之后中国的算经、印度与阿拉伯的数学书中，也均有所记载。但发现了勾股数，还不等于发现了勾股定理。作为普遍定理的发现，人们认为应当归功于毕达哥拉斯，而勾股定理的证明，则始于毕达哥拉斯，再由后来的欧几里得给出了清晰完整的证明。毕达哥拉斯学派还研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比例（1∶0.618）。

毕达哥拉斯本人不仅是杰出的哲学家和数学家，对音乐也造诣颇深。

传说毕达哥拉斯有一天走在街上，被铁匠铺此起彼落、悦耳而和谐的打铁声所吸引，驻足聆听数日，由此而启发了灵感并进行研究。毕达哥拉斯光顾铁匠铺，对大小（质量）不同的铁锤发出的不同频率的声音进行观察和实验，发现了铁匠打铁的节奏遵循简单的比例规律，也就是如今音乐中称之为“和声”的规律。毕达哥拉斯继而萌生了宇宙中万物都遵循某种简单规律而互相“和谐”的概念，他认为，我们周围物体，包括地球、太阳及其他天体，一切运动和变化都是由一定的、永恒的数学规律控制的。所以，毕达哥拉斯学派认为，世间万物来源于“数”，数字的组合造就了物体运动的秩序，神圣而完美的几何图形（例如圆形和球形）是构成天体形状的最佳选择。将这个概念应用到我们脚下的土地上，毕达哥拉斯第一次提出大地是球体这一概念。

从铁匠铺得到灵感之后，毕达哥拉斯又迷上了琴弦振动规律的研究，很快地发现了琴弦定律，即“在给定张力作用下，一根给定弦的频率与其长度成反比”：

式中，f为频率，L为长度。

你可能看不上琴弦定律给出的这个简单公式，但如果你想想，毕达哥拉斯比我们早了2500多年，与你所具有的知识之丰富当然不能同日而语。如果将毕达哥拉斯的工作与他的前辈泰勒斯等米利都人比较，已经前进了一大步。毕达哥拉斯学派不仅仅满足于寻求万物的本源，而是将自然界运行的规律作为探求的目标。更为难能可贵的是，上述琴弦定律，将物理现象之规律用数学公式表达出来，开创了物理与数学结合的先例。

由此可见，毕达哥拉斯的琴弦定律，堪称一个里程碑式的公式，难怪俄裔美籍物理学家乔治·伽莫夫赞扬毕达哥拉斯这个定律，是理论物理学发展的第一步！因为它首次把物理规律用数学公式描述了出来，或者说，是物理系统的第一个数学模型。

毕达哥拉斯的思想深深地影响了柏拉图，以及一大批后来的古希腊哲学家和科学家。毕达哥拉斯为古希腊科学的种子注入了数学的基因，是促使科学和数学联姻的第一人。

无理数在悲剧中诞生

毕达哥拉斯当时认为是世界本源的“数”，指的是整数和分数。毕达哥拉斯认为“1是所有数的生成元”，但是，1只能生成整数，显然还存在不是整数的数，这是很容易理解的。比如说，当你对木棍长度进行测量时，无论你以什么样的“尺子”作为“1”（单位），总会有木棍的长度无法用整数表示出来。于是，毕达哥拉斯说：那没有问题，不能用整数表示，那就用分数表示呀。分数不就是两个整数的比值吗？产生了两个整数，就能产生分数，就能产生任何比例。总而言之，这位古希腊的数学教皇认为：“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”，整数和分数能解释一切自然现象，充分体现了自然规律的数学之美。毕达哥拉斯学派认为，两条几何线段长度之间的比值，其结果必然是整数之比。他们说，如果两根木棍的长度互相不是倍数的话，那么就会存在第三根木棍，用它做尺子，就能同时测量这两根木棍而得到两个整数m和n。毕达哥拉斯学派称这个性质为两个长度的“可通约性”。实际上就是说，两木棍的长度之比a=m/n，是一个整数或分数（有理数）。出于他们对宇宙万物和谐美的崇拜，他们认为任何两条线段都是可通约的。

上文中我们曾经说到，毕达哥拉斯发现了以其命名的毕达哥拉斯定理的一般形式。如果应用此定理到两个直角边为1的等腰直角三角形（图1-4-1），其斜边的长度是多少呢？根据毕达哥拉斯定理，这个长度的平方等于2。显然，我们不可能找到一个满足条件的整数，但是，是否能够找到一个分数适合该条件呢？这个课题引起了毕达哥拉斯一个学生希帕索斯的兴趣并进行了深入研究。

假设2的平方根为a，那么，它可以写成一个分数a=m/n吗？根据毕达哥拉斯的理论，答案是肯定的，因为除了整数分数，没有其他的数。因此，希帕索斯开始时信心满满，下定决心一定要把结果找出来。他折腾了很长时间，用不同的整数对（m, n）试来试去，最终却一无所获。试验失败令希帕索斯对a这个数的性质产生了怀疑，2的平方根好像不可能表示成一个分数！

于是，希帕索斯想到了使用反证法，也就是说，首先假设a是一个分数，然后看看是否会得到不合理的结果。例如，假设a=m/n中的m、n是化为最简分数比后的整数，即m、n互质，根据勾股定理，1²+1²=a²=（m/n）²=2，化简后为m²=2n²，从这个算式可以看出，m²是偶数，那么m也是偶数，因为m、n互质，所以我们得到第一个结论：n应该是奇数。

然后，因为m是偶数，所以可以表示为m=2b（b是自然数），代入m²=2n²中，得4b²=2n²，或n²=2b²。那么便可得到，n²是偶数，n也一定是偶数。这个结果与第一个结论“n应该是奇数”矛盾！

所以，希帕索斯用毕达哥拉斯学派经常使用的反证法，证明了不能表示成两个整数之比。2的平方根既不是整数，也不是分数，那它是一个什么数呢？希帕索斯为发现了一种新类型的数而兴奋，却使老师惊慌不已，因为这个发现让毕达哥拉斯感觉自己原来宣扬的“万物皆数”的理论似乎失去了根基而岌岌可危，于是，他便将希帕索斯囚禁起来，最终甚至下令将这个“叛逆学生”丢进大海淹死了。（注：历史上对希帕索斯的死因有不同的说法。）

尽管这是个数学史上的悲剧，但结果导致了无理数的发现，并且引发了所谓的“第一次数学危机”。后来（公元前370年左右），仍然是毕达哥拉斯学派的一个弟子——欧多克索斯，将“可通约”的概念扩展到“不可通约”，为无理数找到了存在的基础，暂时解决了这个矛盾。

无理数的发现过程，使古希腊科学家明白经验的局限性，只有严密的推理和证明，才能确保理论的可靠。不过，与此同时，无理数让希腊数学家“心生畏惧”，认为这种数只有几何才能描述，并因此限制了古希腊代数学的发展，几何学的地位被提升，此后的欧几里得的几何公理体系便是建立在这些思想认识的基础上，也使古希腊科学家走向了逻辑论证之路，成为科学之先驱者。

也可以说，发现无理数的“悲剧”，对科学的发展有着不可磨灭的贡献。体现了数学对科学极其重要的作用，没有数学的发展，现代科学的进步是不可能的。

数字的概念原本是从人类的生活和生产活动开始的。人类为了更好地生存，发展了农耕文化，他们需要记录日期和季节，计算谷物数和家禽数，还需要度量长度、面积、体积等。随着文明的发达，整数和分数的概念都毫无困难、顺理成章地发展起来。例如在上文例子中所说的，为了测量两根木棍的长度，人们可以建立起整数及分数的概念。但是，仅仅凭着这种物理测量的实践活动，无论你的测量技术达到多么的精确，也不可能产生出类似的这种“无理数”的概念来。“无理数”概念的建立，完全不同于有理数，它需要数学的抽象、思维的升华，包含着“无穷”“极限”等概念。数学家柯西说过：“无理数是有理数序列的极限”。这也就是数学对科学的作用之关键所在。看起来，科学的这位数学“皇后”真不简单！甚至可以说，数学思维高于科学，数学自身可以靠逻辑发展，而科学不行，数学是科学不可或缺的一部分。

微积分是数学上的伟大创造，对科学发展异常重要。人类最终发明了微积分，也算是思维发展过程中的一个奇迹。微积分的发展过程基本有三步：极限的概念、求积的方法、微积分思想。前两步的发展历史都可远远追溯到2000多年前的古代，最后一步，微分积分思想之统一，两者互逆关系的建立，则要归于17世纪牛顿和莱布尼茨两位科学家的功劳。

古代的极限概念

极限是微积分学中最初的也是最重要的核心概念。古希腊时代，芝诺提出的几个著名悖论，首先揭示了无限和连续等概念所引起的人类认识上的困惑，也为极限思想的萌芽。

大约比芝诺晚100年，中国春秋战国时代的庄子提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，可以说这句话已经包含了现代数学中无限数列收敛的概念。“万世不竭”，说明序列是无穷的，但加起来仍然只是“一尺之棰”，说明了该无穷级数的收敛性。

虽然极限和无穷的思想在古希腊和古中国都已经萌芽，但理论的完善却是到了19世纪的事，得归功于法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。并且，直到现在，数学家们对与极限相关的“实无穷、潜无穷”概念，仍然有所争执，可见极限概念的深奥，以及“无穷”在人类思想进展中造成的混淆。剖析一下芝诺悖论的历史，可加深对极限概念发展和完善过程的理解。

有关阿基里斯与乌龟的悖论，芝诺说：如果乌龟一开始就以（1m）领先于跑得最快（比如：比乌龟快1倍）的阿基里斯，那么阿基里斯永远也追不上乌龟。为什么呢？因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟所在的（1m）处；而等阿基里斯到了1m之后乌龟已经又前进了一段距离（1/2m）。然后，阿基里斯到了1/2m后乌龟又前进了1/4m……如此无限地进行下去，阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离。

正如罗素所说，这个悖论为有关时间、空间、无限大、无限小的理论研究提供了丰富的土壤。在试图给这些出人意料的结论以合理解释的过程中，极限及无穷的概念被深入研究下去，理论也因此逐步发展起来。

亚里士多德的解释是：追赶者与被追者的距离将越来越小，所需的时间也越来越少，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以阿基里斯可以在有限的时间内追上乌龟。阿基米德更进一步，使用类似现在对几何级数求和的方法，证明了上例中的距离之和1+1/2+1/4+1/8+…或者对应的时间之和，是一个有限值。

具有现代数学知识的读者，一眼就看出上一段中两位古希腊学者的解释是不严谨的。以上的结论是建立在递减几何级数收敛的基础上。如果对于级数不收敛的情况，他们的解释便不能成立。例如，对不收敛的调和级数，可以这样叙述芝诺悖论：

阿基里斯始终比乌龟跑得快，但二者的速度不是固定的，按如下规律变化：乌龟开始时领先1m，之后，阿基里斯走完这1m，乌龟前进1/2m；阿基里斯再走完这1/2m，乌龟前进1/3m；阿基里斯到1/3m后乌龟又前进1/4m……如此无限地进行下去，阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离1/nm。并且，虽然调和级数1+1/2+1/3+1/4+…的每一项都递减，可是它的和却是发散的。所以，总时间也是发散的，结果为无穷大，即阿基里斯追上乌龟的时间为无限大，因此，他不可能在有限的时间内追上乌龟。

也就是说，在如上的调和级数情况下，尽管阿基里斯总是比乌龟快，但就是永远追不上乌龟。不过，这种情形下，无“悖论”可言。所以，我们将它排除在芝诺悖论的范围以外不予考虑，仍然只研究收敛级数的情形。

如果仅限于收敛级数的话，芝诺悖论是否就已经被完美解决了呢？某些数学家和逻辑学家认为并非如此。因为根据他们对无限的理解，无限不是一个存在的实体，只是一个不断逼近却永远完成不了的过程，因为这个过程完成不了，阿基里斯便不可能到达那个极值点，既然路线中有某个点永远都到不了，又如何可以追上乌龟呢？芝诺悖论仍然是“悖论”！

以上述方式理解无限的观点，被称为“潜无穷”；反之，将无限作为实体，便是“实无穷”。两种观点的争论从古希腊一直持续至今。

曾经看到有人举一个通俗例子来理解两者的区别，不一定准确，但写在下面给诸位作参考。幼儿园两个孩童拌嘴争执比较谁的财富更多：“我有100块”“我有1000块”“我有10 000块”，最后，一个孩子想出另一种说法：“不管你有多少，我永远比你多1块！”，这个似乎包含了某种永远达不到的潜无穷思想。

无穷的观点之“实”“潜”之分，从古希腊、古中国就开始了。例如，中国的惠施曾说“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”，意思是“无穷大之外别无他物，无穷小之内不可再分”，这是一种实无穷的观点。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”中的“万世不竭”，又显然是“永远不会完”的潜无穷观点。

后来的数学大师们也有不同的观点。高斯认为无穷只是潜在的，坚决反对实无穷；康托尔支持实无穷；希尔伯特则认为，在分析中我们研究的潜无限，不是真的无限，真的无限是实无限。

不过，“潜无穷或实无穷”毕竟是数学或逻辑上的争论。笔者认为，对与实证密切相关的科学而言，只有实无穷，没有潜无穷，因为宇宙中的一切都是现实存在的。那么，科学是否就不需要潜无穷了呢？也不能这么说，因为数学对科学的发展往往有出乎人们意料的效果。考虑一下现实世界中似乎并不真实存在的“虚数”概念对科学的作用，便能理解这点了。

总之，芝诺悖论涉及极限概念，数学解答涉及有关实无限与潜无限的讨论。无限过程无法完成潜无限，可以完成实无限，数学中的极限、微积分都建立在实无限概念上。故对潜无限来说，极限概念不成立，只能无限逼近。这些数学概念超出本书范围，在此不作详细介绍，更多有关芝诺悖论、实无限与潜无限的内容，请参考维基百科及相关书籍。

古代求积例子

现在的微积分课程，都是从极限开始，引入导数、微分，后来再学到积分。但在人类思维发展的漫长历史中，却很早就有了类似积分法的应用。

在现实科学应用中，导数和微分表示的是曲线的斜率、运动物体的速度等，是与“动态”“变化”有关的事物，而积分法则方便用于计算物体的面积、体积等物体的固有性质。人类对客观世界的认识显然是始于固定的事物，所以，对积分法的需求和探究从远古时候就开始了。

古希腊的科学始祖泰勒斯就研究过球的面积、体积等问题。公元前5世纪，古希腊数学家安提丰及欧多克索斯提出了“穷竭法”，之后成为一种几何方法，用来求圆形的面积和立体的体积，可算是积分法的先驱。

古希腊最伟大的数学家阿基米德对微积分的贡献毋庸置疑。他利用和发展了穷竭法，计算过抛物线下的弓形面积、球和球冠表面积、双曲线旋转所得图形的体积等，他在解决这些问题过程中的若干思想，真正成为积分学的基础。

几乎同时或稍后，古代中国的微积分概念也在独立发展，可说其成果毫不逊色于西方。三国时期刘徽研究的割圆术，用以求圆面积和方锥体积，是一个突出的例子。祖冲之用割圆术求得圆周率，精度很高（在3.141 592 6与3.141 592 7之间）。

17世纪的意大利几何学家卡瓦列里（早于牛顿时代50年左右），对微积分贡献了一个著名的不可分量方法，或被称为卡瓦列里原理。中国人不十分熟悉这位高人，其原因之一是该原理的基本思想早在1100多年之前就被中国数学家发现了，那是祖冲之和他的儿子祖暅。所以，在中国，卡瓦列里原理一直被称为祖暅原理。

卡瓦列里认为，线由无穷点构成，面由无穷线构成，立体是由无穷个平面构成。点、线、面分别是高一维度的线、面、体的不可分量。祖暅原理则提出“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异。”，就是说，如果所有等高处的截面积都相等，二立体的体积必相等。“夫叠棊成立积”一语中，则包含了与卡瓦列里类似的“不可分量”的思想。

根据祖暅原理（或卡瓦列里原理），体积的计算可以由计算许多个小体积之和而得到；面积的计算则由计算许多个小面积之和而得到。这个原理表现了朴素的积分思想，是定义微积分的前提之一。之后，又有无数数学家（欧拉、拉格朗日等）在极限和无限的概念上做了若干杰出的工作，最后一步则由牛顿和莱布尼茨完成。

微积分的发明

祖暅原理的出现远远早于西方，这点令华夏民族骄傲，却又再一次给我们提出一个令人迷惑的问题：微积分的系统理论为什么没有早早地诞生于中国呢？

考察牛顿和莱布尼茨研究微积分的过程，是与当时科学技术发展的需求密切相关的。数学促进了科学思想的发展，科学的发展又反过来促进数学，这两者相辅相成、互相促进，密不可分。特别是牛顿发明微积分，一开始在很大程度上是为了解决他所热衷的运动学问题。

人类早期研究的问题大多是“静态”的，诸如上面所说的求面积、求体积的问题，积分思想帮忙解决了不少难题。17世纪初期，伽利略和开普勒在天体运动中所得到的一系列观察和实验结果，涉及物体的动态规律，导致科学家们对新一代数学工具的强烈需求，也就是说，如何从大量的数据中，抽象出物体的精确而瞬时的、随时间变化的动态运动规律来呢？

在伽利略的时代，已经有了速度的概念。那时的科学家们已经知道运动距离与运动时间相除得到速度。如果物体运动的快慢始终一样，就叫作匀速运动，否则就是非匀速运动。伽利略在实验中发现，在地球引力持久作用下物体的运动，快慢并非始终一致的，开始时下落得比较慢，后来则下落得越来越快。伽利略又发现，无论是在下落的开始还是最后，速度增加的效果是一样的，这也就是我们现在所熟知的说法：“地面上自由落体的运动是一种等加速度运动。”

速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度……现在学生很容易理解这些名词，在当时却曾经困惑过像伽利略这样的物理大师。从定义平均速度到定义瞬时速度，是概念上的一个飞跃。平均速度很容易计算：用时间去除距离就可以了。但是，如果速度和加速度每时每刻都在变化的话，又怎么办呢？

可以相信，开普勒在总结他的行星运动三定律时，也曾经有类似的困惑。开普勒得出了行星运动的轨迹是个椭圆，他也认识到行星沿着这个椭圆轨迹运动时，速度和加速度的方向和大小都在不停地变化。但是，他尚无极限的概念，也没有曲线的切线及法线的相关知识，不知如何描述这种变化，于是，便只好用“行星与太阳的连线扫过的面积”这种静态积分量来表达他的第二定律。

伽利略和开普勒去世后，两位大师将他们的成果和困惑留在了世界上，激励像牛顿和莱布尼茨这样杰出的物理学家和数学家，对新一代数学工具发起了总攻。

牛顿使用他发明的这个强大的数学工具，建立了牛顿力学的宏伟大厦，同时也发展完善了“变量”的概念，为微积分在各门学科的应用开辟了道路。在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中，微积分起到了决定性的作用，包括数学、物理、化学、天文学、地理、生物基础科学，以及工程应用、计算机和信息等技术学科，所有的现代科学技术都离不开微积分。

就数学理论而言，牛顿和莱布尼茨的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题：微分学的切线问题和积分学的求积问题联系在一起，开创了微积分理论。

可以说，牛顿是在他对物理科学规律研究的驱动下发明微积分的。换言之，这个数学成就多少包含了某些“服务于实用”的因素。中国从古到今的学术研究不是有明显的“实用”倾向吗？为何没有为解决实用的问题而发明微积分呢？

需要澄清的是，当我们说：微积分的出现直接来源于物理学和工程方面的需求，说的是科技理论上的需求，并非小工匠式技术发展的需求，尤其不是那种被利益所驱动的“实用”之需求。中国古代数学，过分拘泥于直接使用而企图快速得利，并不重视理论思维，也不重视抽象的数学观念和数学体系，连函数的概念都没有抽象出来，更无法发明系统的微积分了。这也就是为什么有人说中国古代并无“数学”，只有“算学”的原因，这种说法或许有一定的道理。当然，算学也有它先进发达的一面，下一节将给予简要介绍。有关更详细的“中国算学”，请参考数学家吴文俊的书。