5　古中国的算学

数学毕竟是既迷人又有趣的思维活动，中国古代许多数学家的研究当然也不会完全是被“实用”目的所驱使，也有出自于对完美的追求和对研究的兴趣。例如，祖冲之将圆周率精确到8位有效数字，在当时就不见得有多少实用价值。

我们无法得知古代数学家的主观愿望，但由于中国封建社会的客观现实，中国人脑海中根深蒂固的“学以致用”的传统观念，使得中国古代数学呈现的最大特点是“实用为目标，计算为中心”。

以《九章算术》为例可见一斑。所谓“九章”，指的是9个分类标题：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。其中不少题目都是直接取自于实际生活的具体场景。例如，“方田”是关于田亩面积，“粟米”关于粮食交易，“衰分”关于分配比例，“商功”关于工程，“均输”关于税收，等等。可见解决实际问题是该书的主要目标。

而究其具体内容，《九章算术》处理计算了大量复杂的问题。前面所列的9个分类中，包括了246个问题以及202个“术”。其中有多种几何图形的体积算法、面积算法等；有开平方术、开立方术；二项二次、二项三次等方程的解法；还有应用勾股定理解决问题的各种算法等。从这些例子可看出其以计算为中心的特点。

中国古代数学中并非完全没有理论；反之，有很多密切联系实际的理论。特别是有不少与算法相关的推理、证明及理论。中国古代的许多算法，稍加改变就可以用到现代的电子计算机上。这也是为什么将其称为“算学”的原因。

现代计算机中使用的二进位制思想，据说起源于《周易》（也叫《易经》）中的八卦法，早于德国数学家莱布尼茨2000多年。

古中国算学具有独创性，自成一个完整体系，可总结如下三大特色。

实用性：其计算问题大部分都取材于天文、历法、农业、测量、工程等实用领域。

机械化：朝适用于某些机械运算的方向发展，以便可以使用算筹、算盘等为工具来实现运算。例如，算盘就是当时的计算机，珠算口诀就是计算程序。

代数化：将实用问题（包括几何问题）转化为方程组，然后再转换成刻板的、机械的、用算具能实现的程序（例如逐次消元程序）来求解。

中国的算学当时也影响到一些周边国家的数学发展，如日本的和算、朝鲜半岛的韩算以及越南的算学等。

中国著名数学家吴文俊，早年在拓扑学上做出了奠基性的工作，后来又继承和发展了中国古代数学的传统的算法化思想，专攻几何定理的机器证明，在此领域颇有建树。他认为中国古代数学有两大特色：构造性和机械化。构造性是指从某些初始对象出发，通过明确规定的数学操作来展开理论，例如《九章》中的方程术、开方术等都是这样。机械化，就是刻板化和规格化。实际上，这两个特性都有利于解析问题发展算法，便于使用现代电子计算机做数值计算。

中国古代数学的机械化思想与古希腊数学中的公理化思想，是数学发展过程中的两套马车，都促进了数学的发展。古希腊数学以几何为主，古中国数学多用代数方法，几何比代数更容易公理化，代数比几何更容易发展成机器使用的算法。几何直观、形象且易于被众人接受，代数在非专业人士眼中则显得枯燥。可以说当时的两者各具优缺点。但从历史发展之事实而言，西方的公理化思想很幸运，碰到了因工业革命而诱导出来的“实践精神”，与之结合而最后诞生了现代科学。然后，在科学技术的发展基础上，人类发明了现代计算机，后又发展了比当年古中国数学中的算法高明不知多少倍的各种计算机语言和算法。

而代表古中国机械化数学思想的“算学”，则命运不佳，只在算盘这样的工具上施展功夫，虽然也绵延了上千年，但没有突破、难以发展。