第五节 间接测量的数据处理
被测量y与其他量有函数关系，测量结果由函数计算而得
（2-14）
在这种情况下，数据处理程序如下。
（1）用直接测量的数据处理方法分别计算出
和ui。即由式（2-5）计算出
，由式（2-11）计算出ui。
（2）计算出y的最佳估计值
。
（3）计算出y的合成标准不确定度uc（y）及扩展不确定度U。
（4）写出结果表达式。
一、间接测量的最佳值
首先用直接测量的数据处理方法计算出和ui，然后将各代入式（2-14）中，
得到
（2-15）
作为间接测得量y的最佳估计值。由于具有不确定度，所以由上式得到的
也必然具有不确定度。或者说，由于具有分散性，所以也具有分散性，表征这一分散性的参量就是合成标准不确定度，以uc（y）表征。
二、合成标准不确定度的评定
的不确定度来源于所有的不确定度，也就是的标准不确定度
是由各直接测得量x1，x2，…，xn的标准不确定度u1，u2，…，un适当合成而求得。当全部直接测得量xi彼此独立时，的合成标准不确定度由下式给出
（2-16）
式（2-16）称为不确定度传播律。式中
就是函数y=f（x1，x2，…，xn）在
时的偏导数，这些偏导数称为灵敏系数，记为ci，即
，它表示被测量估计值随直接测得值变化而变化的程度。即当有微小变化Δxi时，值相应变化为
，如果这个变化Δxi来自的不确定度ui，则的相应变化就是
是的一个分量，它表示第i个直接测得值的不确定度ui对的不确定度所做的贡献。
的扩展不确定度为合成标准不确定度乘以包含因子k，若取k=2，则有
（2-17）
如果函数f的表现形式为
两边取自然对数
按不确定度传播律，有
（2-18）
如果指数pi只是+1或-1，则上式成为
（2-19）
式（2-19）说明，当y是xi的乘除运算结果时，则的相对不确定度是各的相对不确定度的方和根。例如一长方体的体积V=lbh，则V的相对合成标准不确定度为
三、间接测量的结果表达式
由式（2-15）得到，由式（2-17）得到
，则测量结果表达式为
（2-20）
还可以写成
下面对式（2-20）做几点说明。
（1）式（2-20）表明被测量值以较大概率处在
区间之内。当k=2，这个概率可望达到95%以上。
（2）扩展不确定度U只取1位有效数字，当U的首位数是1或2时可取两位有效数字，的末位与U所在数位对齐。相对扩展不确定度
取2位有效数字。在U的合成运算中，其不确定度分量或标准不确定度至少应多保留1位数，以避免由于数字修约导致新的不确定度。当然，用计算器进行运算时，则不会出现这样的问题。
四、间接测量的数据处理举例
【例2-4】 被测量y=x1+x2，已知x1=（400±4）mm，x2=（32.1±0.3）mm，求和
并写出测量结果表达式。
解 
=400+32.1=432.1mm
因为0.3≪4，可视为微小量而忽略。
结果表达式为
y=（432±4）mm
【例2-5】 被测量
，已知x1=（200±4）m，x2=（25±3）m，x3=（10±1）m，
求（1）；（2）
；（3）写出结果表达式。
解 （1）
（2）这是一个连乘连除的函数，它的相对不确定度等于各参量的相对不确定度的方和根
因为
，可视为微小量而忽略，所以
一般情况下，可取1～2位有效数字，的末位与所在位对齐，由
，则
可见，在十位上，的有效数字的末位也应取到十位上。即
（3）结果表达式为
或
【例2-6】 在20℃条件下，用一级千分尺测量某金属圆柱体的体积，测量数据如下
di/cm：1.0071，1.0073，1.0069，1.0078，1.0070，1.0074
hi/cm：2.0105，2.0110，2.0108，2.0112，2.0104，2.0100
体积计算公式为
，试写出测量结果表达式。
解 将di输入计算器，经统计运算得到 
=1.00725cm，S（di）=0.00033cm
将hi输入计算器，经运算得到 
=2.01065cm，S（hi）=0.00044cm
由测量重复性导致的不确定度分量
由千分尺准确性导致的不确定度分量，可根据千分尺的最大允许误差求出，按GB/T 1216—2004规定，量程为25mm的一级千分尺，其最大允许误差Δ仪=0.004mm，其标准不确定度为
直径的标准不确定度为
高的标准不确定度为
体积的最佳估计值为
π取到小数点后第5位，避免了因π的取位过少而产生新的不确定度。
的相对合成标准不确定度为
=0.000536=0.0536%
的相对扩展不确定度为
结果表达式为
V=1.6021（1±0.11%）cm3， k=2
上式中
取到小数点后第4位数，因为扩展不确定度的末位就在小数点后第4位上。即
结果表达式还可以写成
V=（1.6021±0.0017）cm3， k=2