2.7 真实网络是超临界的
随机网络理论的两个预测对真实网络有着直接的重要性:
(1)一旦平均度超过=1,巨连通分支将会出现。因此,只有在>1时,节点才能自组织成一个网络。
(2)当>lnN时,所有连通分支被巨连通分支吸收,从而形成一个连通网络。
真实网络满足巨连通分支存在的条件(>1)吗?对于>lnN的真实网络,巨连通分支是否包含所有节点,还是说巨连通分支之外还存在一些孤立节点或小连通分支?为了回答这些问题,我们在给定的情况下将真实网络的结构和随机网络的理论预测进行对比。
测量表明,真实网络的平均度大大超过了临界阈值=1。实际上,据社会学家估计,一个普通人大约有1000个相识的人;人脑中一个典型的神经元有大约7000个突触;细胞中每个分子参与多个化学反应。
表2-1中列出了几个无向网络的平均度,每个网络的平均度都满足>1。实际上,真实网络的平均度远远超出了临界阈值=1,这意味着真实网络都包含巨连通分支。表2-1中列出的参考网络都如此。
表2-1 真实网络是连通的吗?
表中列出了几个无向网络的节点数N和链接数L,同时列出的网络性质还有和lnN。根据随机网络理论,当>1时,网络中存在巨连通分支,而当>lnN时,网络中的所有节点都属于巨连通分支。表中列出的所有网络都满足>1,但是大多数网络的平均度都在阈值lnN之下(图2-9)。
我们现在考虑随机网络理论的第二个预测,看一下真实网络是仅由一个巨连通分支构成(>lnN),还是除巨连通分支之外还包含多个连通分支(<lnN)。对于全球的社会网络,从超临界状态到连通状态的相变点发生在>ln(7×109)≈22.7。也就是说,如果一个普通人有超过23个相识的人,随机社会则仅由一个巨连通分支构成,没有孤立的人存在。由于≈1000,上述条件明显是满足的。不过,表2-1中的许多真实网络并不满足网络处于连通状态的条件。因此,根据随机网络理论,这些网络会分割成多个孤立的连通分支。对于互联网,这是一个令人不安的预测,因为这意味着一些路由器和巨连通分支是不连通的,因而无法和其他路由器进行通信。对于电网而言,这一预测同样会带来问题,因为这意味着有些用户将无法使用电力。很明显,这些预测是不符合现实的。
总之,我们发现大多数真实网络处于超临界状态(图2-9)。因此,这些网络中存在巨连通分支,这与观察结果是一致的。不过,除了少数几个真实网络外,巨连通分支和一些彼此不连通的小连通分支同时存在。注意,这些预测只有当真实网络可以由埃尔德什-雷尼模型准确描述(真实网络是随机的)时才是有效的。在接下来的章节中,随着对真实网络的结构了解得更多,我们就会明白为什么真实网络在不满足>lnN的条件下仍然可以保持连通。
图2-9 大部分真实网络是超临界的
随机网络理论预测了网络的4种状态,图中用叉号标出了表2-1中无向网络的平均度所处的位置。可以看出,大多数网络处于超临界状态,也就是说这些网络中包含了多个不相连的连通分支。只有演员网络处于全连通状态,即所有节点都是巨连通分支的一部分。注意,对于任意网络,亚临界状态和超临界状态的边界都是=1,而超临界状态和全连通状态之间的边界=lnN却是因网络而异的。