第1版前言

为什么要写这本书

这是一本定位于供大学生学习如何解决问题的入门书．我们假定读者具备一定的数学基础（至少懂得一点微积分），喜欢数学，并对一般的证明方法有大致的了解，但他们平时花费了大量的时间去做练习而无暇去思考问题．

“练习题”一般是为了单纯测试学生对某一数学技巧的掌握程度，一般是检验对新学知识的掌握程度而设计的一类题．练习题有的容易有的有些难度，但都不会让人很为难，学生一般都清楚如何去解题．虽然要得到答案可能需要很多技巧，但学生解题的思路往往非常明确．相反，解决“问题”并没有什么特定的思路，也不可能马上得到答案．许多问题都是开放性的，看上去自相矛盾，有些甚至就无解，而在得到结论之前需要大量的分析．问题和解决问题是数学的核心．研究型数学家一辈子就在试图解决这些悬而未决的问题．在生产实践中，有能力解决一个定义晦涩的问题的人要比会（比如说）求矩阵转置的人更重要，解决后者可以由计算机代劳，但解决前者却只有靠人才．

解决问题的高手并不仅仅只是更受老板器重，有些人甚至因此进入主流的数学圈了．他们因此特别有自信心并激励了其他人．最重要的是，解题令人愉悦，真正的高手懂得享受数学带给他们的乐趣，理解并享受数学的美．

打个比方，普通的数学专业学生就像是那种一星期去健身房三次，每次都在各种运动器材上轻巧地重复同样运动的人．相反，喜欢解决问题的人则像是经常背着沉重的旅行包去徒步旅行的人．这两种人都能变得强壮，而通过解决问题锻炼的人则尝试到了冷、热、潮湿、疲劳和饥饿的感觉，他们可能会迷失方向而不得不到处寻找出路，会饱经风霜．但他们能爬到山顶，看到一般人意想不到的风景；他们能够到达奇妙而美丽的地方，更为历尽千辛万苦到达目的地而欣喜若狂；当他们回到家，会因为曾经的历险而充满活力，为曾经的经历而热情洋溢．而那些只去健身房锻炼的“温室花朵”只是在慢慢变得强壮，却不能从运动中享受到多少乐趣，也没有任何可以和别人一起分享的经历．

当前，美国大多数数学专业的学生并不善于解决问题，但还是存在着热爱解决问题的风气．很多人都是由数学俱乐部培养的，经常参加一些数学竞赛，研究那些大部分数学家认为理所当然的重要的“历史著名”问题和观点．这种爱好解决数学问题的文化氛围在部分东欧国家和一些美国城市都很浓厚．我在纽约长大并在Stuyvesant中学上高中，在那里我曾经是学校数学竞赛队的队长并专门学习过如何解决问题，到现在还和数学竞赛都有着不解的缘分．在高中时，我是美国首次参加国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的代表成员，二十年后，我成为了一名大学教授，又以教练的身份辅导了最近很多届参加国际数学奥林匹克竞赛的队伍，包括1994年我们在国际数学奥林匹克竞赛历史上取得最优异成绩的那支代表队．

但在很多人成长的环境中并没有这种喜欢解决问题的文化氛围，我在担任高中以及大学老师期间和这些想解决问题的孩子们经常接触，我相信解决问题是任何能够读数学专业的学生都能轻易学会的一件事．作为解决问题的文化氛围的倡导者，写作这本书是我首次为传播这一文化所做出的努力．我之所以决定写这本书是因为我在旧金山大学工作期间，没有找到任何类似的书．虽然现在已经有不少优秀的专门介绍数学问题的书，但我觉得光有数学问题是不够的．我写这本书的指导原则是：

• 解决问题的方法是可以教授给学生并被他们掌握的．

• 成功解决问题的关键在于心理因素，像信心、专心和勇气都是非常重要的．

• 对问题不受任何限制的分析至少和严格的论证同样重要．

• 影响解决问题的非心理因素主要包括高度的战略规划、集中的战术方法和灵活运用的技术工具．

• 掌握大量的历史著名问题（比如抽屉原理或康威棋子问题）和精通各种技术工具同样重要．

如何读这本书

虽然这本书编写得像是一本标准的数学教材，但它的语言是非常口语化的：它就像是一位友善的教练，不仅讲解问题，还通过各种告诫、举例和挑战来传授知识．学习这本书不需要太多的预备知识，只要掌握一点浅显的微积分就足够了，因为我把这本书的读者定位于大学数学系的学生．当然这本书也适合高中高年级学生以及各级别的自学者，特别是数学老师们．

本书的内容分成两部分．第一部分是总结解决问题的方法论，这也是全书的核心内容．第二部分包含四个独立成章的部分，即按解题者的角度分成代数、组合数学、数论和微积分四章．为了控制全书的厚度，书中没有讨论几何方面的问题，但几何的思想却贯穿始终，并在一些地方（如4.2节）有集中讨论．但从总体上讲，本书涉及的几何方面的内容还是相对较少的．幸运的是，现在已经出版了很多几何方面的书籍．这些书中，我认为初等几何方面的Geometry Revisited[?]和Geometry and the Imagination[?]写得非常好．

本书每一小节的结构都很清晰：（大量的）讲解、例题和问题．有些比较容易，有些稍微难些，还有一些非常难．本书的目的是教大家如何解决问题，要提高这一能力的唯一途径就是解决大量问题，独立解决一些问题并学习别人的解题方法，但并非所有的问题都是能解出的，任何时间只要是用在思考问题上都是值得的．

我希望读者在读完这本书并解决书中660个问题中的一部分后，能有前面说过的背包长途旅行的那种感觉．读者在阅读的过程中有时不可避免地会茫然不知所措，感到非常痛苦，但是当完成这样一次旅行以后，你们的意志会变得坚强，并且欣喜若狂，而且随时准备着下一次的冒险旅行．

当然，你们还能从中学到很多数学知识——不是分割成一块块的数学分支，而是数学本身，纯粹而简单．的确，贯穿整本书反复出现的主题是数学的统一性．很多特定的解题方法都用到了将一个数学分支的问题转化为另一个数学分支的问题的技巧，比如，可以从几何角度解释一个代数不等式．

如何教授这本书

如果是一学期的课程，应该教完第一部分的内容，虽然学生不一定能够完全掌握．此外，还可以从第二部分选取一部分内容讲解．例如，如果给大学一二年级学生开设这门课可以讲解第1-6章；如果是高年级，则可以跳过第5章的大部分（除了最后一节）和第6章，而将主要时间用来学习第7章和第8章．

致谢

Deborah Hughes Hallet是我近二十年事业的守护天使．没有她的仁慈和鼓励，就不可能有这本书，我也不可能成为一名数学教师．我将这一切归功于你，Deb.谢谢你！

我真的很幸运能在旧金山大学工作，在这里，我无时无刻不感到同事们的友善和支持，学生们很热爱学习，学校的领导也从各方面为教职工们提供服务．特别地，我想真诚地感谢下列朋友．

• Stanley Nel院长，他非常慷慨地帮我解决实际困难，升级我的电脑，资助我出差．但更重要的是，他从一开始就对我写的这本书表现出极大的兴趣，他的热情和赏识支持我度过了过去四年．

• 从1992年到旧金山大学任教开始，Tristan Needham就是我的导师、同事和朋友．没有他的建议和为本书的写作所付出的努力，我也不可能完成这本书．Tristan学识渊博，从最细微的LATEX命令到丰富的数学史知识以及扎实的数学基础．在很多方面，我仍旧只是个初学者，Tristan教会我真正地深入理解数学的真相．

• Nancy Campagna、Marvella Luey、Tonya Miller和Laleh Shahideh想尽办法，非常慷慨地帮助我料理杂事．完全可以这样说，没有她们的帮助和友谊，我在旧金山大学的生活可能会糟透了．

• 每天都离不了的Wing Ng，我们系最多才多艺的教学秘书，帮助我解决了很多问题，从修复印机到安装软件到设计版面，她的足智多谋和大公无私的精神大大提高了我工作的效率．

在这本书中，我的很多想法都来源于我在以下两个地方给学生上课的经验：旧金山大学开设的关于如何解决问题的一学期课程，和担任国际数学奥林匹克竞赛美国队教练时讲授的课程．非常感谢我的学生们，他们给我提供了这样一个与大家一起分享数学的机会．

在担任数学竞赛教练期间，我从同事们那里学到了很多解决问题的方法．特别地，我要感谢Titu Andreescu、Jeremy Bem、Doug Jungreis、Kiran Kedlaya、Jim Propp、Alexander Soifer，与他们的多次交流对我帮助极大．

Bob Bekes、John Chuchel、Dennis DeTurk、Tim Sipka、Robert Stolarsky、Agnes Tuska和Graeme West阅读了本书的手稿，提出了很多有益的修改意见，并指出了书中不少错误．由于他们的认真工作，本书在原稿基础上又有了很大改进，如果书中还有其他错误，当然由我一人负责．

本书是用Macintosh电脑写作完成的，在Textures上运行LATEX, Textures是一个非常出色的排版程序，大大优于其他TEX软件．我向希望用TEX或LATEX软件写书的人推荐该软件（www.bluesky.com）．另一个对我帮助很大的软件是Eric Scheide公司的索引程序，它可以自动执行大部分的LATEX索引过程．这些程序极大地节省了我的时间．欲知更多的信息，请联系scheide@usfca.edu.

Wiley出版公司的编辑Ruth Baruth在极短的时间里帮我把模糊的想法变成了一本书，整个过程少不了她积极的鼓励、创新的提议和温和的督促．我在此对她表示真诚的感谢．我期待着将来能有更多的书奉献给读者．

我的妻子和儿子在我写书期间给予了我极大的支持．感谢他们对我的容忍，也希望他们能够原谅我这段时间对他们的忽视．正因为没有家庭上的分心，我才能够将更多的时间投入到工作中，也不会因为对工作的热爱而感到内疚．可是，如果没有我的家庭，其他任何东西（甚至是数学的美）对我来说都是毫无意义的．

保罗·蔡茨

1998年11月于旧金山