第一节　物体的受力分析

一、力的概念与基本性质

1.力的概念

力的概念是人们在长期的生产实践中建立起来的。力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变或使物体产生变形。

使物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应。如人推小车，小车由静止变为运动，运动的速度由慢变快，或者使运动方向有了改变。

使物体产生变形的效应称为力的内效应。如弹簧受拉力作用会伸长；桥式起重机的横梁在起吊重物时要弯曲；锻压加工时工件会变形等。

力的外效应和力的内效应总是同时产生的，在一般情况下，工程上用的构件大多是用金属材料制成的，它们都具有足够的抵抗变形的能力，即在外力的作用下，它们产生的变形是微小的，对研究力的外效应影响不大，在静力分析中，可以将其变形忽略不计。在外力作用下永不发生变形的物体称为刚体。本节以刚体为研究对象，只讨论力的外效应。

实践证明，力对物体的作用效应，由力的大小、方向和作用点的位置所决定，这三个因素称为力的三要素。当这三个要素中任何一个改变时，力的作用效果就会改变。如用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，其大小、方向或作用点位置不同，产生的效果就不一样。

力是一个具有大小和方向的矢量，图示时，常用一个带箭头的线段表示，线段长度AB按一定比例代表力的大小，线段的方位和箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点，如图2-1所示。书面表达时，用黑体字如F代表力矢量，并以同一字母非黑体字F代表力的大小。

工程上作用在构件上的力，常以下面两种形式出现。

（1）集中力

集中作用在很小面积上的力，一般可以把它近似地看成作用在某一点上，称其为集中力。如图2-1所示的力F，其单位为“牛顿”（N）或“千牛顿”（kN）。

（2）分布载荷

连续分布在一定面积或体积上的力称为分布载荷。如果分布载荷的大小是均匀的就称为均布载荷。均布载荷中，单位长度上所受的力称为载荷集度，用q表示，其单位为“牛顿/米”（N/m）或“千牛顿/米”（kN/m）。如卧式容器的自重、塔设备所受的风载荷都可简化为均布载荷。

2.力的基本性质

力的性质反映了力所遵循的客观规律，它们是进行构件受力分析、研究力系简化和力系平衡的理论依据。

力的基本性质由静力学公理来说明。

公理一　二力平衡公理

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上。

该公理指出了刚体平衡时最简单的性质，是推证各种力系平衡条件的依据。

凡是可以不计自重且只在两点受力而处于平衡的构件，称为二力构件。二力构件的形状可以是直线形的，也可以是弯曲的，因只有两个受力点，根据平衡公理，力的方向必在两受力点连线上。在结构中找出二力构件，对物体的受力分析至关重要。

公理二　力的平行四边形公理

作用于物体上同一点的两个力，其合力也作用在该点上，合力的大小和方向由以这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线确定。有矢量合成法则：

F=F₁+F₂

该公理说明了力的可加性，它是力系简化的依据。

如图2-2所示，F即为F₁和F₂的合力。F的大小可以由余弦定理计算，F的方向可以用它与F₁（或F₂）之间的夹角α（或β）来表示。

　　（2-1）

力的平行四边形公理是力系合成的依据，也是力分解的法则，在实际问题中，常将合力沿两个互相正交的方向分解为两个分力，称为合力的正交分解。

公理三　加减平衡力系公理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。

如图2-3（a）所示，一刚体受力F作用，作用点为A；沿力的作用线上另一点B处加上等值、反向的两个力F₁和F₂，如图2-3（b）所示，且F₁=F₂=F。由于F₁与F构成平衡力系，可除去。此时，原刚体就受力F₂的作用，如图2-3（c）所示，而与原来在F作用下等效。由此，有下面的推论：

作用在刚体上某点的力，沿其作用线移到刚体内任一点，不改变它对刚体的作用。这就是力的可传性原理。例如，实践中用力拉车和用等量同方向的力去推车，效果是一样的。

由力的可传性原理可以看出，作用于刚体上的力的三要素为：力的大小、方向和力的作用线位置，不再强调力的作用点。

需要说明的是，公理一、公理三及其推论只对刚体适用，而不适用于变形体。

公理四　作用力与反作用力公理

当甲物体给乙物体一作用力时，甲物体也同时受到乙物体的反作用力，且两个力大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

如图2-4所示，重物给绳一个向下的拉力T_A，同时绳作用在重物上一个向上的拉力T'_A，T_A与T'_A互为作用力与反作用力。由此可见，力总是成对出现的。由于作用力与反作用力分别作用在两个不同物体上，因而它们不是平衡力。

二、约束及约束反力

凡是对一个物体的运动（或运动趋势）起限制作用的其他物体，都称为这个物体的约束。

能使物体运动或有运动趋势的力称为主动力，主动力往往是给定的或已知的。如图2-4物体所受重力G即为主动力。

约束既然限制物体的运动，也就给予该物体以作用力，约束对被约束物体的作用力称为约束反力，简称反力。如图2-4所示，绳给重物的作用力T'_A就是约束反力。约束反力的方向总是与约束所阻止的物体运动趋势方向相反。

约束反力的方向与约束本身的性质有关。下面介绍几种工程中常见的约束类型及其相应的约束反力。

1.柔性约束

绳索、链条、胶带等柔性物体形成的约束即为柔性约束。柔性物体只能承受拉力，而不能受压。作为约束，它只能限制被约束物体沿其中心线伸长方向的运动，而无法阻止物体沿其他方向的运动。因此，柔性约束产生的约束反力，通过接触点沿着柔体的中心线背离被约束物体（使被约束物体受拉）。如图2-4所示，重物受柔体约束反力T'_A的作用。

2.光滑面约束

一些不计摩擦的支承表面，如导轨、气缸壁等产生的约束称为光滑面约束。这种约束只能阻止物体沿着接触点公法线方向的运动，而不限制离开支承面和沿其切线方向的运动。因此，光滑面约束反力的方向是通过接触点并沿着公法线，指向被约束的物体。如图2-5（a）所示，在主动力G的作用下， 物体有向下运动的趋势，而约束反力N则沿着公法线垂直向上，指向圆心。图2-5（b）所示为轴架在V形铁上， V形铁对轴的约束反力N₁、N₂沿接触斜面的法线方向，指向轴的圆心。

3.固定铰链约束

如图2-6（a）所示，被连接件A只能绕销轴O转动，而不能沿销轴半径方向移动。这种结构对构件A的约束就称为固定铰链约束。固定铰链约束通常简化为如图2-6（b）或（c）所示的力学模型，其约束反力的作用线通过铰链中心，但其方向待定，可先任意假设。常用水平和铅垂两个方向的分力来表示，如图2-6（b）、（c）中的N_x、N_y所示。

4.活动铰链约束

如图2-7（a）所示，在铰链支座下面装几个辊轴，就成为活动铰链支座。化工和石油装置中的一些管道、卧式容器及桥梁等，为了适应较大的温度变化而产生的伸长或收缩，应允许支座间有稍许的位移，这些支座可简化为活动铰链约束，其力学模型见图2-7（b）。

活动铰链约束不限制物体沿支承面切线方向的运动，只能限制物体沿支承面的法线方向压入支承面的运动，其约束反力与光滑面约束相似，方向是沿着支承面法线通过铰链中心指向物体，如图2-7（b）所示。

工程实际中的轴承约束常可简化为固定铰链或活动铰链。

5.固定端约束

物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束，如图2-8（a）所示。例如，建筑物中的阳台、插入地面的电线杆、塔设备底部的约束和插入建筑结构内部的悬臂式管架等，这些工程实例都可抽象为固定端约束。固定端约束既不允许构件作纵向或横向移动，也不允许构件转动。其力学模型如图2-8（b）所示。

固定端约束所产生的约束反力比较复杂，一般在平面力系中常简化为三个约束反力N_x、N_y、m，如图2-8（b）所示。

三、受力图

静力分析主要解决力系的简化与平衡问题。为了便于分析计算，应将所研究物体的受力情况用图形全部表示出来。为此，需将所研究物体假想地从相互联系的结构中“分离”出来，单独画出。这种从周围物体中单独隔离出来的研究对象，称为分离体。将研究对象所受到的所有主动力和约束反力，无一遗漏地画在分离体上，这样的图形称为受力图。

通过实例来说明受力图的画法。

［例2-1］　如图2-9（a）所示，水平梁AB用斜杆CD支撑，A、D、C三处均为圆柱铰链连接。水平梁的重力为G，其上放置一个重为Q的电动机。如斜杆CD所受的重力不计，试画出斜杆CD和水平梁AB的受力图。

解：①斜杆CD的受力图。如图2-9（b）所示，将斜杆解除约束作为分离体。该杆的两端均为圆柱铰链约束，在不计斜杆自身重力的情况下，它只受到杆端两个约束反力R_C和R_D作用而处于平衡状态，故CD杆为二力杆。根据二力杆的特点，斜杆两端的约束反力R_C和R_D的方位必沿两端点C、D的连线且等值、反向。又由图可断定斜杆是处在受压状态，所以约束反力R_C和R_D的方向均指向斜杆。

②水平梁AB的受力图。如图2-9（c）所示，将水平梁AB解除约束作为分离体（包括电动机）。作用在该梁上的主动力有梁和电动机自身的重力G和Q。梁在D、A两处受到约束，D处有约束反力R'_D与二力杆上的力R_D互为作用力与反作用力，所以R'_D的方向必沿CD杆的轴线并指向水平梁。A处为固定铰链，其约束反力一定通过铰链中心A，但方向不能预先确定，一般可用相互垂直的两个分力N_x和N_y表示。

通过以上例题，可以把受力图的画法归纳如下：

①明确研究对象，解除约束，画出分离体简图；

②在分离体上画出全部的主动力；

③在分离体解除约束处，画出相应的约束反力。

四、平面汇交力系

1.平面汇交力系的简化

凡各力的作用线均在同一平面内的力系，称为平面力系。各力的作用线全部汇交于一点的平面力系，称为平面汇交力系。如图2-10所示，滚筒、起重吊钩受力都是平面汇交力系，它是最基本的力系。

（1）力在坐标轴上的投影

力在坐标轴上的投影定义为：从力F的两端分别向选定的坐标轴x、y作垂线，其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影。如图2-11所示。图中ab和a'b'即为力F在x和y轴上的投影。

　　（2-2）

式中，α是力F与x轴正向间的夹角。

如图2-11所示，若将力F沿x、y轴方向分解，则得两分力F_x、F_y。

力F在x轴上的分力大小：F_x=Fcosα

力F在y轴上的分力大小：F_y=Fsinα

由此可知，力在坐标轴上的投影，其大小就等于此力沿该轴方向分力的大小。力的分力是矢量，而力在坐标轴上的投影是代数量，它的正负规定如下：若此力沿坐标轴的分力的指向与坐标轴一致，则力在该坐标轴上的投影为正值；反之，则投影为负值。在图2-11中，力F在x、y轴的投影都为正值。图2-12中各力投影的正负，读者可自行判断。

若已知力在坐标轴上的投影F_x、F_y，则力F的大小和方向可按下式求出

　　（2-3）

式中，α为力F与x轴正向间的夹角；力F的指向由F_x、F_y的正负号判定。

（2）平面汇交力系的简化

如图2-13（a）所示，设物体上作用着汇交的两个力F₁、F₂，则其合力F可由平行四边形ABDC的对角线AD表示。

根据投影的定义，分力和合力的投影关系为

F_1x=ab　　F_2x=ac=bd　　F_x=ad

F_1y=a'b'　　F_2y=a'c'=b'd'　　F_y=a'd'

由图可知，表示投影的线段有如下关系

ad=ab+bd　　a'd'=a'b'+b'd'

即

F_x=F_1x+F_2x　　F_y=F_1y+F_2y

在图2-13（b）中，上述关系仍然存在，但投影的正负不一定完全相同，应根据具体情况确定，运算时应该特别注意。

上面证明了两个力合成时的投影关系，显然上述方法可以推广到任意多个汇交力的情况。设有n个力汇交于一点，如图2-14（a）所示，它们的合力为F。可以证明，合力F在坐标轴上的投影，等于各分力在该轴上投影的代数和，这个关系称合力投影定理。用数学式表达为

　　（2-4）

由投影F_x、F_y就可以求合力F的数值［图2-14（b）］为

　　（2-5）

合力F的方向由F_x、F_y的正负决定。

2.平面汇交力系的平衡

若平面汇交力系的合力为零，则该力系将不引起物体运动状态的改变，即该力系是平衡力系。从式（2-5）可知，平面汇交力系保持平衡的必要条件是

要使上式成立，则必须同时满足以下两个条件

　　（2-6）

上式称为平面汇交力系的平衡方程，它的意义是：平面汇交力系平衡时，力系中所有各力在x、y两坐标轴上投影的代数和分别等于零。

［例2-2］　如图2-15（a）所示，储罐架在砖座上，罐的半径r=0.5m，重G=12kN，两砖座间距离L=0.8m。不计摩擦，试求砖座对储罐的约束反力。

解：①取储罐为研究对象，画受力图。砖座对储罐的约束是光滑面约束，故约束反力N_A和N_B的方向应沿接触点的公法线指向储罐的几何中心o点，它们与y轴夹角设为θ。G、N_A、N_B三个力组成平面汇交力系，如图2-15（b）所示。

②选取坐标oxy如图2-15（b）所示，列平衡方程求解

∑F_x=0　　N_Asinθ-N_Bsinθ=0　　（a）

∑F_y=0　　N_Acosθ+N_Bcosθ-G=0　　（b）

解式（a）得

N_A=N_B

由图中几何关系可知

所以

θ=53.13°

代入式（b）得

五、平面力偶系

1.力矩

如图2-16所示，当人们用扳手拧紧螺母时，力F对螺母拧紧的转动效应不仅取决于力F的大小和方向，而且还与该力作用线到O点的垂直距离d有关。F与d的乘积越大，转动效应越强，螺母就越容易拧紧。因此，在力学上用物理量Fd及其转向来度量力F使物体绕O点转动的效应，称为力对O点之矩，简称力矩，以符号M_o（F）表示。即

M_o（F）=±Fd　　 （2-7）

式（2-7）中，O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d称为力臂。式中正负号表示两种不同的转向。通常规定：使物体产生逆时针旋转的力矩为正值；反之为负值。力矩的单位是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。

在平面问题中，由分力F₁、F₂、…F_n组成的合力F对某点O的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。这就是合力矩定理（证明从略）。

即

M_o（F）=M_o（F₁）+M_o（F₂）+…+M_o（F_n）=∑M_o（F）

合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，而且也同样适用于平面一般力系。

由力矩定义可知：

①如果力的作用线通过矩心，则该力对矩心的力矩等于零，即该力不能使物体绕矩心转动；

②当力沿其作用线移动时，不改变该力对任一点之矩；

③等值、反向、共线的两个力对任一点之矩总是大小相等、方向相反，因此两者的代数和恒等于零；

④矩心的位置可以任意选定，即力可以对其作用平面内的任意点取矩，矩心不同，所求的力矩的大小和转向就可能不同。

2.力偶

（1）力偶的概念

力学上把一对大小相等、方向相反，作用线平行且不重合的力组成的力系称为力偶，通常用（F，F'）表示。力偶中两个力所在的平面称为力偶的作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，如图2-17所示。

实践证明，力偶对物体的转动效应，不仅与力偶中力F的大小成正比，而且与力偶臂d的大小成正比。F与d越大，转动效应越显著。因此，力学上用两者的乘积Fd来度量力偶对物体的转动效应，这个物理量称为力偶矩，记作M（F，F'）或简单地以M表示。

M=M（F，F'）=±Fd　　 （2-8）

力偶矩与力矩一样，也是代数量，正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同，即逆正顺负。单位也和力矩相同，常用N·m和kN·m。

力偶对物体的转动效应取决于力偶矩的大小、转向和力偶的作用面，称这三个因素为力偶的三要素。常用图2-18所示的方法表示力偶矩的大小、转向、作用面。

（2）力偶的性质

根据力偶的概念，可以证明，力偶具有以下性质。

①力偶无合力。如图2-19所示，在力偶作用平面内取坐标轴x、y，由于构成力偶的两平行力是等值、反向（但不共线），故在x、y轴上投影的代数和为零。这一性质说明力偶无合力，所以它不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。由此可见，力偶是一个不平衡的、无法再简化的特殊力系。

②力偶的转动效应与矩心的位置无关。如图2-20所示，设物体上作用一力偶（F，F'），其力偶矩M=Fd。在力偶作用平面内任取一点O为矩心，将力偶中的两个力F、F'分别对O点取矩，其代数和为

M=M_o（F）+M_o（F'）=F（d+l）-Fl=Fd

这表明，力偶中两个力对其作用面内任一点之矩的代数和为一常数，恒等于其力偶矩。而力对某点之矩，矩心的位置不同，力矩就不同，这是力偶与力矩的本质区别之一。

③力偶的等效性。大量实践证明，凡是三要素相同的力偶，彼此等效。如图2-21（a）、（b）、（c）所示，作用在同一平面内的三个力偶，它们的力偶矩都等于240N·cm，转向也相同，因此，它们互为等效力偶，可以相互代替。有时就用一个带箭头的弧线来表示一个力偶，如图2-21（d）所示。

（3）平面力偶系的合成与平衡

作用于同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若力偶系中各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。

既然力偶对物体只有转动效应，而且，转动效应由力偶矩来度量，那么，平面内有若干个力偶同时作用时（平面力偶系），也只能产生转动效应，且其转动效应的大小等于各力偶转动效应的总和。可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即

M=m₁+m₂+……+m_n=∑m　　 （2-9）

若物体在平面力偶系作用下处于平衡状态，则合力偶矩必定等于零，即

M=∑m=0 　　（2-10）

上式称为平面力偶系的平衡方程。利用这个平衡方程，可以求出一个未知量。

［例2-3］　图2-22（a）为塔设备上使用的吊柱，供起吊顶盖之用。吊柱由支承板A和支承托架B支承，吊柱可在其中转动。图中尺寸单位为mm。已知起吊顶盖重力为1000N，试求起吊顶盖时，吊柱A、B两支承处受到的约束反力。

解：①以吊柱为研究对象，支承板A对吊柱的作用可简化为向心轴承，它只能阻止吊柱沿水平方向的移动，故该处只有一个水平方向的反力N_Ax。支承托架B可简化为一个固定铰链约束，它能阻止吊柱铅垂向下、水平两个方向的移动，故该处有一个铅垂向上的反力N_By，一个水平反力N_Bx。画出吊柱的受力图如图2-22（b）。

②吊柱上共有四个力作用，其中G和N_By是两个铅垂的平行力，N_Ax、N_Bx是两个水平的平行力，由于吊柱处于平衡状态，它们必互成平衡力偶。

由力偶（G，N_By）可知N_By的大小为

N_By=G=1000（N）

由∑m=0得

-G×500+N_Ax×400=0

所以

N_Bx=N_Ax=1250（N）

六、平面任意力系

1.力的平移

有了力偶的概念以后，可进一步讨论力的平移问题。

如图2-23（a）所示，设有一力F作用在物体上的A点，今欲将其平行移动（平移）到o点。如图2-23（b）所示，在o点加一对平衡力F'和F″，其大小和力F相等，且平行于F。根据加减平衡力系公理，这时，三个力F、F'、F″对物体的作用效果与原来的一个力F对物体的作用效果是相同的。F、F'、F″三力中，F″和F两力是等值、反向，但不共线的平行力，因而它们构成一个力偶，通常称为附加力偶，其臂长为d，其力偶矩为m恰好等于原力F对o点之矩。

即

m=M_o（F）=Fd

而剩下的力F'，即为由A点平移到o点的力，如图2-23（c）所示。于是，原来作用在A点的力F，现在被一个作用在o点的力F'和一个附加力偶（F，F″）所代替，显然它们是等效的。

由上可知：作用在物体上某点的力，可平行移动到该物体上的任意一点，但平移后必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点之矩，这就是力的平移定理。力的平移定理只适用于刚体，它是平面任意力系简化的理论依据。

2.平面任意力系的简化

各力作用线任意分布的平面力系，称为平面任意力系。

如图2-24（a）所示，设物体上作用着一个平面一般力系：F₁、F₂、F₃、F₄。在物体上任意选取o点作为简化中心。根据力的平移定理将此四个力平移到o点，最后得到一个汇交于o点的平面汇交力系和一个平面力偶系，如图2-24（b）所示。换言之，原来的平面任意力系与一个平面汇交力系和一个平面附加力偶系等效。

3.平面任意力系的平衡

根据上述平面任意力系的简化结果，若简化后的平面汇交力系和平面附加力偶系平衡，则原来的平面任意力系也一定平衡。因此，只要综合上述两个特殊力系的平衡条件，就能得出平面任意力系的平衡条件。具体地说：

①平面汇交力系合成的合力为零　F=0

②平面力偶系合成的合力偶矩为零　∑M_o=0

当同时满足这两个要求时，平面任意力系作用的物体既不能移动，也不能转动，即物体处于平衡状态。

由平面汇交力系的平衡条件可知，欲使合力F=0，则必须使∑F_x=0及∑F_y=0，因此得到平面任意力系的平衡方程为

　　（2-11）

由这组平面任意力系的平衡方程，可以解出平衡的平面任意力系中的三个未知量。

［例2-4］　如图2-25所示的塔设备，塔重G=450kN，塔高h=30m，塔底用螺栓与基础紧固连接。塔体的风力可简化为两段均布载荷，h₁=h₂=15m，h₁段均布载荷的载荷集度为q₁=380N/m；h₂段载荷集度为q₂=700N/m。试求塔设备在支座处所受的约束反力。

解：由于塔设备与基础用地脚螺栓牢固连接，塔既不能移动，也不能转动，所以可将基础对塔设备的约束视为固定端约束。

①选塔体为研究对象，分析其受力情况。作用在塔体上的主动力有塔身的重力G和风力q₁、q₂，塔底处为固定端约束，故有约束反力N_x、N_y和m_A，其中N_x防止塔体在风力作用下向右移动，N_y防止塔体因自重而下沉，而m_A则限制塔体在风力作用下绕A点转动。在计算支座反力时，均布载荷q₁和q₂可用其合力Q₁和Q₂表示，它们分别作用在塔体两段受载部分的中点即h₁/2和h'=h₁+h₂/2处，合力的大小分别为Q₁=q₁h₁，Q₂=q₂h₂，方向与风力方向一致。约束反力N_x、N_y和m_A的大小未知，但它们的指向和转向可预先假定。其受力图如图2-25（b）所示。

②在塔体受力图上建立直角坐标系Axy；选取A点为矩心。

③列平衡方程，求解未知力。

由

∑F_x=0　Q₁+Q₂-N_x=0

得

由

∑F_y=0　N_y-G=0

得

N_y=G=450（kN）

由

∑M_A=0

计算求得的N_x、N_y和m_A均为正值，说明受力图上假定的指向和转向与实际指向和转向相同。