第二节　轴向拉伸与压缩

一、轴向拉伸与压缩的概念

承受拉伸或压缩的杆件，工程实际中是很常见的。例如：图2-26（a）所示压力容器法兰的连接螺栓，就是受拉伸的杆件，而图2-26（c）所示容器的支脚和图2-27所示千斤顶的螺杆则是受压缩的杆件。这类杆件的受力特点是：作用在直杆两端的外力大小相等、方向相反，且外力的作用线与杆的轴线重合。其变形特点是：沿着杆的轴线方向伸长或缩短。这种变形称为轴向拉伸或轴向压缩。

二、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力

1.内力的概念

研究构件的强度时，把构件所受作用力分为外力与内力。外力是指其他构件对所研究构件的作用力，它包括载荷（主动力）和约束反力。内力是指构件为抵抗外力作用，在其内部产生的各部分之间的相互作用力。内力随外力的增大而增大，但内力的增大是有限度的，当达到一定限度时，构件就要破坏。这说明构件的破坏与内力密切相关。因此，计算构件的强度时，首先应求出在外力作用下构件内部所产生的内力。

2.截面法

求内力普遍采用的方法是截面法。即欲求某截面上的内力时，就假想沿该截面将构件截开，然后在截面标示出内力，再应用静力平衡方程求出内力。如图2-28（a）所示，杆件受拉力F作用，假想沿m—n截面将杆件截为两段，任取其中一段（此处取左段）作为研究对象，如图2-28（b）所示，由于各段仍保持平衡状态，所以在横截面上有力N作用，它代表着杆右段对左段的作用，这个力就是截面m—n上的内力。由于内力是分布在整个截面上的力，所以，应把集中力N理解为这些分布力的合力。它的大小可由静力平衡方程求得

∑F_x=0　　N-F=0

N=F

如取右段为研究对象，则可求出右段上的内力N'=F，如图2-28（c）所示。力N与N'是左右两段的相互作用力，它们必然大小相等、方向相反。

轴向拉压时，横截面上的内力与杆件的轴线相重合，这种内力称为轴力，常用符号N表示。通常规定，拉伸时的轴力为正；压缩时的轴力为负。

当杆件受到两个以上的轴向外力作用时，则在杆的不同段内将有不同的轴力。为了清晰地表示杆件各横截面上的轴力，常把轴力随横截面位置的改变而变化的情况用图线表示出来。一般是以直杆的轴线为横坐标，表示横截面的位置，而以垂直于杆轴线的坐标为纵坐标，表示横截面上的轴力，按一定的比例，正的轴力画在横坐标上方，负的画在下方，这样绘制出来的图形，称为轴力图。轴力图可反映轴力沿杆轴线的变化情况。

［例2-5］　如图2-29所示，构件受力F₁、F₂、F₃作用，求截面1-1、2-2上的内力，并画出构件的轴力图。

解：①求截面1-1上的内力。

假想在1-1处将杆件截为两段，取左段为研究对象，画出受力图如图2-29（b）所示。由静力平衡方程∑F_x=0得

N₁-F₁=0

N₁=F₁=1（kN）

AC段各横截面的内力均为N₁=1kN。

②求截面2-2上的内力。

从2-2处“截开”杆件后，其左段的受力图如图2-29（c）所示。由静力平衡方程得

N₂-F₁+F₃=0

N₂=F₁-F₃=1-3=-2（kN）

截面2-2上的内力N₂为负值，说明实际方向与假定方向（受拉）相反，为压力2kN。CB段各横截面的内力均为N₂=-2kN。

③画轴力图。取N-x坐标系，由于每段内各横截面上的轴力不变，根据N₁、N₂的大小，按适当的比例，并注意N₁、N₂的正负号，在各段杆长范围内画出两条水平线，即可得到该构件的轴力图，如图2-29（d）所示。

从轴力图上便可确定最大轴力的数值及其所在的横截面位置。在此例中，CB段的轴力最大，即|N_max|=|N₂|=2kN且为压力。

三、轴向拉伸与压缩时横截面上的应力

求出拉压杆件的轴力之后，还不能判断杆件的强度是否足够。例如两根材料相同，粗细不等的杆件，在相同拉力作用下，它们的内力是相等的。当拉力逐渐增大时，细杆必然先被拉断。这说明杆件的强度不仅与内力有关，还与横截面面积有关。实验证明，杆件的强度须用单位面积上的内力来衡量。单位面积上的内力称为应力。应力达到一定程度时，杆件就发生破坏。

取一等截面直杆作试件，如图2-30所示，在其表面上画出两条垂直于杆轴线的横向线ab和cd，代表两个横截面，然后对其施加拉伸载荷F。

在受到拉伸后，试件产生变形，可以看到，ab、cd分别平移到a'b'和c'd'位置，如图2-30（a）所示，且各线段仍与杆件轴线垂直。根据这一实验现象，可以做出一个重要的假设：杆件变形前为平面的各横截面，在变形后仍为平面。这个假设称为横截面平面假设。

设想杆件是由无数条与轴线平行的纵向纤维构成，由平面假设推断，纵向纤维产生了相同的伸长量。因此，各纵向纤维的受力也相同。由此可知，杆件受拉伸或压缩时，其横截面上的内力是均匀分布的。因而，横截面上的应力也是均匀分布的，它的方向与横截面垂直，称为正应力，如图2-30（b）所示，其计算公式为

　　（2-12）

式中　N——横截面上的轴力，N；

A——横截面面积，mm²。

当正应力σ的作用使构件拉伸时σ为正，压缩时σ为负。

应力的单位是N/m²，称为帕（Pa）。因这个单位太小，还常用兆帕（MPa）。

1MPa=10⁶Pa=10⁶N/m²=1N/mm²

四、轴向拉伸与压缩时的强度计算

杆件是由各种材料制成的。材料所能承受的应力是有限度的，且不同的材料，承受应力的限度也不同，若超过某一极限值，杆件便发生破坏或产生过大的塑性变形，因强度不够而丧失正常的工作能力。因此，工程中对各种材料，规定了保证杆件具有足够的强度所允许承担的最大应力值，称为材料的许用应力。显然，只有当杆件中的最大应力小于或等于其材料的许用应力时，杆件才具有足够的强度。许用应力常用符号［σ］表示。

为了保证拉、压杆具有足够的强度，必须使其最大正应力σ_max（称为工作应力）小于或等于材料在拉伸（压缩）时的许用正应力［σ］，即

　　（2-13）

式（2-13）称为拉（压）杆的强度条件，是拉（压）杆强度计算的依据。产生σ_max的截面，称为危险截面。等截面直杆的危险截面位于轴力最大处，而变截面杆的危险截面，必须综合轴力N和横截面面积A两方面来确定。

根据强度条件，可解决以下三方面的问题。

（1）强度校核

已知构件所受载荷、截面尺寸和材料的情况下，强度是否满足要求，可由式（2-13）决定。符合σ_max≤［σ］为强度足够，安全可靠；不符合，则强度不够，表明构件工作不安全。

（2）设计截面

已知构件所受的载荷和所用材料，则构件的横截面面积可由下式决定

　　（2-14）

（3）计算许可载荷

已知构件横截面面积及所用材料就可以按下式计算构件所能承受的最大轴力，即

N_max≤［σ］A　　 （2-15）

根据构件的受力情况，确定构件的许用载荷。

对上述三类问题的计算，根据有关设计规范，最大应力不允许超过许用应力的5%。

［例2-6］　如图2-31所示，储罐每个支脚承受的压力F=90kN，它是用外径为140mm，内径为131mm的钢管制成的。已知钢管许用应力［σ］=120MPa，试校核支脚的强度。

解：支脚的轴力为压力

N=F=90（kN）

支脚的横截面面积

压应力

所以支脚的强度足够。

五、轴向拉伸与压缩时的变形

1.变形分析

杆件受拉压作用时，它的长度将发生变化，拉伸时伸长，压缩时缩短。

设杆件原长为l，拉伸或压缩后长度为l₁（图2-32），则杆件的伸长量Δl为

Δl=l₁-l

Δl称为绝对变形，拉伸时Δl>0，压缩时Δl<0。原长不等的杆件，其变形Δl相等时，它们变形的程度并不相同。因此，用Δl与原长l的比值表示杆件的变形程度，即

　　（2-16）

式中，ε称为相对变形，也称为应变。它是一个无因次量，工程中也用百分数表示。

杆件轴向伸长（或缩短）时，它的横向尺寸将缩短（或伸长），若杆件的横向尺寸原为d，受拉时变为d₁（图2-32），则杆件横向缩短为

Δd=d₁-d

横向的相对变形，即横向应变ε'为

横向应变ε'与轴向应变ε之比的绝对值称为横向变形系数或泊松比μ。即

μ也是一个无因次量，对于一定的材料，μ为定值。如钢材的μ值一般为0.3左右。

2.虎克定律

实验证明，杆件受拉伸或压缩作用时，变形与轴力之间存在一定的关系。当应力未超过某一限度（称为材料的比例极限）时，杆件的绝对变形Δl与轴力N、原长l成正比，而与杆件的横截面面积成反比，即

引进比例系数E，可将上式写成等式

　　（2-17）

式中，E仅与材料的性能有关，称为材料的拉压弹性模量。这个关系称为拉压虎克定律。

将式（2-17）等式两边各除以原长l，则得

　　（2-18）

这是虎克定律的另一种表达形式：当应力未超过材料的比例极限时，杆件的应力与应变成正比。

对于某种材料，在一定温度下，E有一确定的数值。常用材料在常温下的E值列于表2-1中。须注意ε无单位，E的单位与应力的单位相同，即常采用Pa或MPa。

六、典型材料拉伸与压缩时的力学性能

所谓材料的力学性能（机械性能），是指材料从开始受力到破坏为止的整个过程中所表现出来的各种性能，如弹性、塑性、强度、韧性、硬度等。这些性能指标是进行强度、刚度设计和选择材料的重要依据。

低碳钢和铸铁是工程上常用的两类典型材料，它们在拉伸和压缩时所表现出来的力学性能具有广泛的代表性。这里主要介绍这两种材料在常温静载下受拉伸和压缩时所表现出来的力学性能。

1.低碳钢拉伸时的力学性能

试验前，把要进行试验的材料做成如图2-33所示的标准拉伸试件，其标距l有l=5d和l=10d两种规格。试验时，将试件的两端装夹在试验机上后，在其上施加缓慢增加的拉力，直到把试件拉断为止。在不断缓慢增加拉力的过程中，试件的伸长量Δl也逐渐增大。在试验机的测力表盘上可以读出一系列的拉力F值，同时可以测出与每一个F值所对应的Δl值。若以伸长量Δl为横坐标，以拉力F为纵坐标，可以做出拉力F与绝对变形Δl关系的曲线——拉伸图。一般的试验机上有自动绘图装置，可以自动绘出拉伸图。

为了消除试件尺寸的影响，将拉力F除以试件横截面面积A得σ，又将Δl除以试件原标距l得ε。以应力σ为纵坐标、应变ε为横坐标，可以得到应力应变关系曲线——应力应变图（或称σ-ε曲线），如图2-34所示。以Q235钢的σ-ε曲线为例，讨论低碳钢在拉伸时的力学性能。

（1）比例极限σ_p

σ-ε曲线的oa段是斜直线，这说明试件的应变与应力成正比，材料符合虎克定律σ=Eε。oa段的斜率tanα=E，直线部分最高点a点所对应的应力值σ_p，是材料符合虎克定律的最大应力值，称为材料的比例极限。Q235钢的比例极限σ_p≈200MPa。

（2）弹性极限σ_e

当应力超过材料比例极限σ_p后，图上aa'已不是直线，这说明应力与应变不再成正比，材料不符合虎克定律。但是，当应力值不超过a'点对应的应力值σ_e时，拉力F解除后，变形也完全随之消失，试件恢复原长，材料只出现弹性变形。应力值若超过σ_e，即使把拉力F全部解除，试件也不能恢复原长，会保留有残余变形，这部分不可恢复的残余变形称为塑性变形。a'点对应的应力值σ_e是材料只出现弹性变形的极限应力值，称为弹性极限。实际上a'与a两点非常接近，在应用时通常对比例极限和弹性极限不作严格区分。Q235钢的弹性极限σ_e近似等于200MPa。

试件的应力在从零缓慢增加到弹性极限σ_e的过程中，只产生弹性变形，不产生塑性变形，故σ-ε曲线上从o至a'这一阶段叫弹性阶段。

（3）屈服极限（屈服点σ_s）

当应力超过弹性极限σ_e后，σ-ε图上出现一段近似与横坐标轴平行的小锯齿形曲线bc。说明这一阶段应力虽有波动，但几乎没有增加，而变形却在明显增加，材料好像失去了抵抗变形的能力。这种应力大小基本不变而应变显著增加的现象称为屈服或流动。图上从b至c所对应的过程叫屈服阶段。这一阶段应力波动的最低值σ_s称为材料的屈服点。如果试件表面光滑，可在试件表面上看到与轴线成45°角的条纹，如图2-35所示。一般认为，这是材料内部的晶粒沿最大剪应力方向相对滑移的结果，这种滑移是造成塑性变形的根本原因。因此，屈服阶段的变形主要是塑性变形。塑性变形在工程上一般是不允许的，所以屈服点σ_s是材料的重要强度指标。Q235钢的σ_s=235MPa。

（4）强度极限σ_b

经过屈服阶段以后，曲线从c点开始逐渐向上凸起，这意味着要继续增加应变，必须增加应力，材料恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。从c点到d点所对应的过程叫强化阶段，曲线最高点d对应的应力σ_b是试件断裂前所承受的最大应力值，称为强度极限。强度极限σ_b是表示材料强度的另一个重要指标。Q235钢的强度极限σ_b≈400MPa。

在应力值小于强度极限σ_b时，试件的变形是均匀的。当应力达到σ_b后，在试件的某一局部，纵向变形显著增加，横截面积急剧减小，出现颈缩现象，如图2-36所示，试件被迅速拉断。颈缩现象出现后，试件继续变形所需的拉力F也相应减小，用原始面积算出的应力值F/A也随之下降，所以σ-ε曲线出现了de部分。在e点试件断裂。曲线上从d点至e点所对应的过程叫颈缩阶段。

（5）伸长率δ和断面收缩率ψ

伸长率

式中　l₀——试件标距；

l₁——试件拉断后的长度；

l₁-l₀——塑性变形。

δ值的大小反映材料塑性的好坏。工程上一般把δ>5%的材料称为塑性材料，如低碳钢、铜、铝等；将δ<5%的材料称为脆性材料，如铸铁等。Q235钢的δ=25%～27%。

断面收缩率

式中　A₀——试件横截面原始面积；

A₁——试件断口处的横截面面积。

ψ值的大小也反映材料的塑性好坏。Q235钢的ψ=60%，它是典型的塑性材料。

2.其他塑性材料拉伸时的力学性能

图2-37（a）为伸长率δ>10%的几种没有明显屈服阶段的塑性材料拉伸时的力学性能。由它们的应力-应变曲线图可以看出，在拉伸的开始阶段，σ-ε也成直线关系（青铜除外），符合虎克定律。与Q235钢相比，这些塑性材料并没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上常采用名义屈服极限σ_0.2作为其强度指标。σ_0.2是产生0.2%塑性应变时的应力值，如图2-37（b）所示。

3.灰铸铁拉伸时的力学性能

灰铸铁静拉伸试验的σ-ε曲线，如图2-38所示。应力应变曲线没有真正的直线部分，但是在较小的应力范围内很接近于直线。这说明在应力不大时，可近似地认为灰铸铁符合虎克定律。

灰铸铁没有屈服和颈缩现象，断裂时塑性变形很小，伸长率一般只有0.5%～0.6%，断口较平齐。灰铸铁的拉伸强度极限较低，其σ_b在100～200MPa之间，故一般不用灰铸铁作承受拉伸的构件。

4.低碳钢压缩时的力学性能

将低碳钢做成高与直径之比为1.5～3的圆柱形试件，并在万能材料试验机上进行压缩试验。其σ-ε曲线如图2-39所示，图中虚线表示拉伸时的σ-ε曲线。我们发现，在屈服阶段以前，压缩时的力学性能与拉伸时的力学性能相同，即比例极限σ_p、屈服点σ_s和弹性模量E都与拉伸时相同。但过了屈服阶段后，随着压力的增大，试件越压越扁，试件的横截面积也不断地增大，试件不会断裂，所以低碳钢压缩时不存在强度极限σ_b。

5.灰铸铁压缩时的力学性能

灰铸铁压缩试验时的σ-ε曲线如图2-40所示。曲线上也没有真正的直线部分，材料只是近似地符合虎克定律，压缩过程中没有屈服现象。灰铸铁压缩破坏时，变形很小，而且是沿着与轴线大致成45°的斜截面断裂。值得注意的是，灰铸铁的抗压强度极限比抗拉强度极限大约高4倍，故常用灰铸铁等脆性材料作承受压缩的构件。

6.许用应力

材料丧失正常工作能力时的应力，称为极限应力。通过对材料力学性能的研究，知道塑性材料和脆性材料的极限应力分别为屈服点和强度极限。为了确保构件在外力作用下安全可靠地工作，考虑到由于理论计算的近似性和实际材料的不均匀性，当构件中的应力接近极限应力时，构件就处于危险状态。为此，必须给构件工作时留有足够的强度储备。即将极限应力除以一个大于1的系数n作为构件工作时允许产生的最大应力，这个应力称为许用应力，常以［σ］表示。

对于塑性材料

对于脆性材料

式中，n_s、n_b分别为屈服安全系数和断裂安全系数，它的选取涉及安全与经济的问题。根据有关设计规范，对一般构件常取n_s=1.5～2、n_b=2～5。

7.应力集中

受轴向拉伸或压缩的等截面直杆，其横截面上的应力是均匀分布的。但实际工程中，这样外形均匀的等截面直杆是不多见的。由于结构和工艺等方面的要求，杆件上常常带有孔、槽等结构。在这些地方，杆件的截面形状和尺寸有突然的改变。实验证明，在杆件截面发生突变的地方，即使是在最简单的轴向拉伸或压缩的情况下，截面上的应力也不再是均匀分布的。而在开槽、开孔、切口等截面发生骤变的区域，应力局部增大，如图2-41所示，它是平均应力的数倍，并且经常出现杆件在截面突然改变处断裂，离开这个区域，应力就趋于平均。这种由于截面突然改变而引起的应力局部增高的现象，称为应力集中。

实验证明，截面尺寸改变得越急剧，应力集中程度就越严重，局部区域出现的最大应力σ_max就越大。由于应力集中对杆件的工作是不利的，因此，在设计时尽可能设法降低应力集中的影响。为此，杆件上应尽可能避免用带尖角的孔和槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡。

化工容器在开孔接管处也存在应力集中，在这些区域附近常需采用补强结构，以减缓应力集中的影响。