4.3　卡诺循环

科学是因人类社会的需要而发展的，热力学第二定律也是伴随着人类发展的社会需要而发展起来的。18世纪末出现了蒸汽机^［2］，随后人类对更高热机效率的不断追求，迫切需要解决燃料燃烧放出的热如何更高效地转化为机械功的问题。

实践证明，功可以无条件地转化为热，而热转化为功是有条件的。由于对热机效率的追求，自然而然地产生了这一问题：既然热不能完全转化为功，那么热转化功的最大效率又该如何呢？

［2］瓦特与蒸汽机：詹姆斯·瓦特（James Watt，1736—1819），英国著名的发明家，工业革命时期的重要人物。瓦特初期连续运转的蒸汽机，按燃料热值计总效率不超过3％；到1840年，最好的凝汽式蒸汽机总效率可达8％；到20世纪，蒸汽机最高效率可达到20％。

面对19世纪初热机效率低的工业难题，卡诺^［3］于1824年创造性地用“理想实验”的思维方法，提出了最简单而有重要理论意义的热机循环——卡诺循环，并假定该循环在准静态条件下是可逆的，与工作介质无关，制造了一部理想的热机，基于该实验，引入了“卡诺循环、卡诺热机”等概念，得出了“卡诺原理”，有效解决了热功转化的方向与限度问题，促进了热力学的发展。

［3］萨迪·卡诺（Sadi Carnot，1796—1832）是法国青年工程师、热力学的创始人之一，兼有理论科学与实验科学才能，是把热和动力联系起来的第一人，是热力学理论基础的真正建立者。英国著名物理学家麦克斯韦对卡诺理论作出评价：“卡诺理论是一门具有可靠的基础、清楚的概念和明确的边界的科学”。

4.3.1　卡诺循环

卡诺以理想气体为工作物质，根据绝热可逆和恒温可逆过程做功不同的特点，设计的一个循环，称为卡诺循环（carnot cycle），从始态出发，历经四步：等温可逆膨胀、绝热可逆膨胀、等温可逆压缩、绝热可逆压缩，又回到了始态，该循环过程如图4-2所示。在这四个步骤中，功、热、内能关系如下。

（1）等温可逆膨胀

理想气体在T_h温度由始态A（p_A，V_A，T_h）恒温可逆膨胀至状态B（p_B，V_B，T_h），从高温热源吸热Q_h，做功W₁。由于过程恒温，有

在这个过程中，体系从高温热源吸收热量、对外做功。

（2）绝热可逆膨胀

理想气体从状态B（p_B，V_B，T_h）绝热可逆膨胀至状态C（p_C，V_C，T_c），有

Q=0，W₂=ΔU₂=C_V（T_c-T_h）

在这个过程中，体系对环境作功、温度降低。

（3）等温可逆压缩

理想气体从状态C（p_C，V_C，T_c）恒温可逆压缩至状态D（p_D，V_D，T_c），此时环境对体系做功W₃，体系向低温热源放热Q_c，则

在这个过程中，体系向环境中放出热量，体积压缩。

（4）绝热可逆压缩

理想气体从状态D（p_D，V_D，T_c）绝热可逆压缩至状态A（p_A，V_A，T_h），有

Q=0，W₄=ΔU₄=C_V（T_h-T_c）

在这个过程中，环境对体系作功、温度升高。

经过上述四步过程后，体系恢复到原来状态。

根据热力学第一定律，整个循环过程中

ΔU=0

　　 （4.1） 　　

对（2）、（4）绝热可逆过程，用公式

　　 ①

　　②

式①除以式②得，代入式（3.62），得

　　 （4.2） 　　

思考：

4-12　卡诺的科学贡献对你有何启发？

4-13　回答并理解如下问题：

（1）可逆热机是理想热机吗？

（2）卡诺热机是可逆热机吗？

（3）可逆热机是卡诺热机吗？

（4）实际热机是卡诺热机吗？

4.3.2　热机效率

卡诺循环可以想象成工作于两个恒温热源之间的准静态过程，做卡诺循环的热机叫做卡诺热机。该热机工作于两个恒温热源之间，其高温热源（hot source）的温度为T_h，低温热源（cold sink）的温度为T_c。卡诺假设工作物质只与两个恒温热源交换热量，没有散热、漏气、摩擦等损耗。为使过程是准静态过程，工作物质从高温热源吸热应是无温度差的等温膨胀过程，同样，向低温热源放热应是等温压缩过程。因限制只与两热源交换热量，脱离热源后只能是绝热过程。这一循环相当于从高温热源吸收热量Q_h，对外做功W，同时向低温热源放出了热Q_c，如图4-3所示。

卡诺热机从高温热源所吸收的热Q_h，一部分转变为功W，另一部分热传给了低温热源Q_c。由于热机效率（η）的定义为热机在整个循环过程中做的总功与从高温热源吸收的热量之比，故有

　　 （4.3） 　　

或 　　 　　 （4.4）

4.3.3　制冷热机及其效率

如果把可逆的卡诺热机倒开，即沿着ADCBA路径循环，就变成了一台制冷机，此时环境对体系做功，体系从低温热源T_l吸收热量Q_c，而放给高温热源T_h的热量为Q_h，这就是制冷机的工作原理。类似于卡诺热机效率的处理计算方法，可以求出环境对体系所做的功W与从低温热源所吸收的Q_c的关系为

　　 （4.5） 　　

式中，W为环境对体系所做的功；β为制冷系数（coefficient of refrigeration）。

例题4-1　1kg 273.2K的水变为冰能放出多少热量？假若用一台制冷机在SATP下工作至少需要对体系做多少功？该制冷机完成该过程对环境放热若干？已知

解：（1）体系　

（2）制冷机　

　　

（3）制冷机

-Q_h=（ΔU）=Q_c+W=334.7kJ+30.63kJ=365.33kJ

习题：

4-1　已知每克汽油燃烧时可放热16.86kJ。（1）若用汽油作水蒸气为工作物质的蒸汽机的燃料时，该机的高温热源为105℃，冷凝器即低温热源为30℃；（2）若用汽油直接在内燃机中燃烧，高温热源温度可达2000℃，废气即低温热源亦为30℃。试分别计算两种热机的最大效率是多少？每克汽油燃烧时所能作出的最大功为多少？（0.198，3.34kJ；0.867，14.62kJ）

4-2　1kg 273.2K的水变为冰能放出多少热量？假若用一台制冷效率为50％的制冷机在SATP下工作至少需要对体系做多少功？该制冷机完成该过程对环境放热多少？已知Δ_fus。（-334.7kJ，61.26kJ，-395.96kJ）