3.3　双因素试验方差分析

试验研究中经常遇到两个因素同时影响试验结果的情况。通过双因素试验的方差分析，便能在一组试验中确定两个因素对试验结果有无显著影响以及两因素之间是否存在交互作用。根据试验设计，双因素方差分析有不带重复试验和有重复试验两种情况，同时存在无交互作用和有交互作用两种情况。考虑交互作用是双因素方差分析和单因素方差分析的一个很大区别，它有助于在进行双因素试验和分析时做出更为可靠、精确的结论。例如，在农业试验中，将A个品种在B块不同土地进行试验。以其产量作为考核指标。这是一个典型的双因素试验，通过对产量的方差分析，可考察不同土地对品种的影响，或不同品种对土地的适应性。

3.3.1　交互效应

在双因素试验中，除了两个因素各自对试验结果产生影响外，还存在两个因素一起对试验结果产生的影响，即存在两个因素各水平之间的一种联合搭配的影响，这种两因素联合的影响就是所谓的交互效应。

例如，实验室合成某化合物，试验不同添加剂用量、不同反应时间、不同反应温度对化合物产率的影响，分别进行了两批试验，试验结果分别如表3-7和表3-8所示。

在表3-7中，无论反应时间是60min还是90min，添加剂用量2.0g的产率均比1.0g的产率高5.8%，试验结果还表示，无论添加剂是用1g还是2g，反应时间90min的产率均比反应时间60min的高7.4%，即添加剂用量对产率提高的效果与反应时间没有直接的关系，反应时间对产率提高的效果与添加剂用量也没有直接的关系。而表3-8的试验情况完全不同，反应温度50℃时添加剂用量2.0g比1.0g时的产率高5.2%，反应温度80℃时添加剂2.0g反而比1.0g时的产率低4.8%，表示添加剂的用量对产率的变化与反应温度的高低有关；采用1g添加剂时反应温度80℃时的产率比50℃时的高7.9%，当2g添加剂时反应温度80℃时的产率比50℃时的反而低2.1%。添加剂用量对产率的影响与反应温度有一种特殊的相关性，这种特殊的相关性称为交互作用。试验表明，添加剂用量与反应时间之间没有交互效应，而添加剂用量与反应温度之间有明显的交互效应。又如，在农业生产试验中，某作物只施氮肥亩（1亩=666.7m²）产增加30kg，只施磷肥亩产增加15kg，而同时施氮肥和磷肥亩产可增加85kg，大大超过单独施氮肥和磷肥增产之和，这说明同时使用氮肥和磷肥产生了交互作用而使亩产大幅增加。

在双因素试验中，因素A与因素B的交互作用是指两因素联合作用引起的效应，而不是指因素A、B在不同水平组合A_iB_j对试验结果的总效应。因为不同水平组合下的总效应既包括了因素A和因素B的主效应，又包括因素A、B间的交互效应。在方差分析中用A×B表示因素A和B的交互作用。

要考察双因素交互作用，在试验安排上，应对各A_iB_j组合设计重复实验，从试验总的变差平方和中分解出A和B交互效应的变差平方和。

3.3.2　无交互作用双因素试验方差分析

设影响试验结果的有A、B两个因素，因素A取a个水平，B因素取b个水平，A、B每个水平搭配做一次试验，不考虑其交互作用。A的第i水平与B的第j水平搭配的试验结果为x_ij。试验水平、结果列于表3-9中。

其中

按单因素试验变差平方和的分解来讨论双因素试验结果变差平方和的分解，可推导得：

　　（3-17）

其中，因素A的变差平方和：

　　（3-18）

因素B的变差平方和：

　　（3-19）

误差平方和：

　　（3-20）

各变差平方和的自由度：

并有

　　（3-21）

由此计算试验因素A、B和试验误差e的方差估计值

分别计算因素A和B的统计量：

　　（3-22）

　　（3-23）

可以证明，F_A、F_B服从F分布，选择显著性水平α，统计量与相应F分布的临界值、比较，进行方差检验。表3-10列出了无交互作用双因素试验方差分析参数。

【例3-3】　表3-11列出了催化剂浓度和反应温度对某化工产品产率影响的试验数据，根据表列数据说明催化剂浓度和反应温度对产率的影响。

解　这是一个双因素无重复的试验。由于无重复试验，不能考察催化剂浓度和反应温度的交互作用。按计算式（3-17）～式（3-20）计算催化剂浓度和反应温度影响的变差平方和、总的试验变差平方和和试验误差的变差平方和：

本试验中a=5，b=6，计算自由度，ν_T=ab-1=29，ν_A=a-1=4，ν_B=b-1=5，ν_e=（a-1）（b-1）=20。

计算统计量F，

将计算的统计参数填入表3-12中。

方差分析表明温度对产品产率有显著的影响，其F_B值远大于，温度升高产率显著增加；而催化剂浓度对产率有影响，F_0.01>F_A>F_0.05，其影响远不及温度的影响显著。最终选择何种工艺条件，要综合考虑工艺成本、原料成本和设备条件等因素。

另外为减少计算中计数的麻烦，本例亦可采用简化的计算方法，将原数据均减去80，其基本数据和简化计算的中间参数列于表3-13中，计算Q_T、Q_A、Q_B、Q_e和统计量F，并进行F检验。

以下同上计算。表3-13的统计结果与表3-11统计结果一致。如果采用Excel的数据分析或其他统计软件，计算更为简捷。第13章图13-17、图13-18列出了无重复双因素方差分析的Excel的数据分析表格计算实例。

3.3.3　有交互作用双因素试验方差分析

在双因素试验方差分析中，当考虑交互作用，则要求两个因素的每一个水平搭配至少做两次重复试验。双因素交叉分组试验安排如表3-14所示，因素A设a个不同水平，因素B设b个不同水平，每个水平搭配试验重复c次，共进行a×b×c次独立试验，试验的观测值为x_ijk，因素A和B 的交互作用记为A×B。

表3-14试验结果的方差分析为：

　　（3-24）

　　（3-25）

其中，i=1，2，…，a；j=1，2，…，b；k=1，2，…，c。

总的变差平方和Q_T，反映全部测量数据的变动性：

　　（3-26）

式中，

因素A的变差平方和Q_A反映因素A在各水平引起的变动性，

　　（3-27）

式中，；bc为在A_i各水平试验搭配的次数。

因素B的变差平方和Q_B反映因素B在各水平引起的变动性，

　　（3-28）

式中，ac为在B_j各水平试验搭配的次数。

因素A和B交互作用的变差平方和Q_A×B反映因素A和B的交互作用在各水平引起的变动性，

式中，

试验误差的变差平方和Q_e反映随机误差引起的变动性，

　　（3-29）

当不进行重复试验，即c=1，计算得Q_e=0，这时交互作用和试验误差合并在一起，不能分离出来。当c≥2，试验因素中的交互作用可从试验误差中分离出来。

根据变差平方和的加和性原理，有：

　　（3-30）

其相应自由度为：

并有

　　（3-31）

根据各因素的试验变差平方和和相应的自由度进行方差检验，F值及相应参数计算列于表3-15中。

对有重复试验的双因素方差分析，应先检验两因素之间的交互作用，如交互作用不显著，可将交互作用变差平方和合并于误差的平方和中（两者自由度同时合并），作为误差方差估计值，再进行各因素的方差分析。如果交互作用显著，则采用表3-15进行有交互作用双因素方差分析。

下面的实例是在相同的条件下进行两组试验，分别进行无重复试验和有重复试验双因素方差分析，并剖析两者的关系。

采用原子吸收法测定钢铁中的锰，试验了乙炔和空气流量对锰279.5nm处吸光度的影响，试验结果列于表3-16。

采用3.3.2无交互作用双因素试验方差分析的计算模式，计算结果和F检验统计量列于表3-17中。

试验结果和方差分析表明，乙炔流量显著影响锰的吸光度，而空气流量对锰吸光度的影响并不显著。

观察表3-16的试验数据，乙炔和空气流量对锰吸光度的影响较复杂。在空气流量7.0L/min和8.0L/min两水平，随着乙炔流量的增加，锰吸光度先增加后降低，而在9.0L/min和10.0L/min两水平，随着乙炔流量的增加，锰吸光度逐渐降低；在乙炔流量1.0L/min、1.5L/min和2.0L/min水平，随着空气流量的增加，锰吸光度先增加后降低，在2.5 L/min水平，锰吸光度随空气流量增加而增加。由于无重复试验，方差分析并不能发现乙炔和空气流量对锰吸光度的影响是否存在交互作用。

为了进一步探讨乙炔流量和空气流量对锰吸光度的影响，设计了在相同测量条件下的重复试验，即在每个乙炔和空气流量搭配水平重复进行两次试验，试验数据见表3-18。

按有重复双因素方差分析计算式计算：

将计算结果、各因素自由度和统计量写入方差分析表（表3-19）中。

统计结果表明，乙炔流量、空气流量及两者的交互作用都是高度显著的，其中乙炔流量的影响更为明显。锰的吸光度随乙炔流量的变化程度与空气流量大小有关，说明两者同时影响锰吸光度的变化，即乙炔流量与空气流量对锰吸光度的变化有交互作用。

比较表3-17和表3-19，在无重复双因素方差分析中，空气流量对锰吸光度的影响并不显著，这是因为交互作用的影响包括在误差的变差平方和中增大了误差的方差估计量，降低了F检验的灵敏度，妨碍了对空气流量影响的判断。而有重复双因素方差分析中，将误差的影响与交互作用的影响分离，提高了F检验的灵敏度。

由此，当被试验因素之间存在交互作用时，必须进行重复试验，估计试验误差的影响和交互作用的影响，正确评价各试验因素对试验结果的影响。

通过双因素方差分析，找出了乙炔流量和空气流量对锰原子吸收法测量影响的主次关系，但乙炔和空气流量多少时能得到最佳测量效果呢？进行正交试验可很好地回答这个问题。

第13章图13-19列出了有重复试验双因素方差分析的Excel表格计算实例。