3.4 多元函数的极限

多元函数的极限分为两类极限问题，一类是累极限，另一类是重极限。本节将给出这两种极限的概念，并介绍其求解方法。

3.4.1 累极限

定义3-16 当多元函数f(x1,x2,…,xn)各个自变量依某种次序相继地各自趋近于其目标值所定义的极限称为函数的累极限。

假设有二元函数f(x,y)，该函数的两个累极限数学形式为

其中x0、y0既可以是数值也可以是函数。

以L2为例，累极限的物理意义可以理解为，先求出二元函数f(x,y)在x→x0时的极限，再对结果求y→y0时的极限。这里内极限中x0可以是常数或无穷大量，也可以是y的函数。

在MATLAB下，函数的累极限可以通过下面的语句直接求出。该函数嵌套地使用了limit()函数。

L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)， %先x后y的累极限

或L1=limit(limit(f,y,y0),x,x0)，%先y后x的累极限

例3-26 试求出二元函数累极限

解 由于涉及，在MATLAB下应该假设y为正数，所以本例中的问题可以用下面语句直接解出，其极限值为ea2。

这里还能得出内极限的中间结果

3.4.2 重极限及其计算

定义3-17 多元函数f(x1,x2,…,xn)所有自变量同时趋近于各自的目标值所得出的极限称为重极限。

定义3-18 二元函数f(x,y)的重极限可以表示为

重极限的物理含义是，自变量(x,y)沿任意方向趋近目标点(x0,y0)所得出的极限。当前的计算机技术没有办法实现“任意方向”的逼近，所以只能尝试一些特定的方向。在一般情况下，如果两个累极限的值相等，函数的重极限很可能等于这个值。

另外，也可能出现这两个语句都可以执行且得出不同结果的情形，或二者相同但双重极限不存在的情形，使用时应慎重，可以尝试从不同的方向趋近目标，观察是否能得出一致结论。

如果沿某一特定方向得出的结果与其他的不同，则足以证明f(x,y)函数的重极限不存在。

例3-27 试求重极限。

解 可以直接给出下面的语句，选择让y=kx，让y→x2或让x→y2这三个方向都倾向于0，则可以得出完全一致的极限L1=L2=L3=0。所以，基本上可以断定，原函数的重极限的值为0。

考虑用meshgrid()函数在(0,0)点附近的区域生成一些网格数据。注意，为了有效地避开样本点处x=0，y=0可能带来的麻烦，这里有意引入一个小的偏移。由下面语句则可以计算出网格样本点上的z值，并绘制三维曲面，如图3-9所示。可见，在(0,0)附近的曲面变得很平坦，如果选择更小的区域，仍将得出类似趋势的曲面。所以可以看出，二重极限的值为0。

为更好地演示这里的极限问题，不建议使用fsurf()函数，建议使用上面手工选点绘制曲面的方法。

例3-28 试求二重极限。

解 该函数的两个累极限可以由下面语句求出，均为0，一般可以认为，原函数的二重极限也为0。为慎重起见，当然还可以加入其他方向的极限验证，如x→y2，y→x2等，都将给出一致的结论。

趋于无穷大的问题无法用图形方法验证，可以采用变通的方法，如令x=1/u，y=1/v，在用图形方法绘制出在(u,v)→(0,0)邻域的曲面。

例3-29 试判断重极限是否存在。

解 如果想真正从理论上计算出某个函数的重极限是很困难的事情，因为要考虑到所有方向上的累极限。相比之下，指出重极限不存在则容易得多，因为只要证明某两个方向上的累极限不同即可。例如，假设y=rx，r为符号变量，而累极限又和r有关，则足以说明原问题的重极限不存在。对本问题而言，可以由下面的语句求出累极限。

     >> syms r x y; f(x,y)=x*y/(x^2+y^2); L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)

这样得出的结果为L=r/(r2+1)，是与r有关的，所以重极限不存在。

如果充分利用图形显示的方法，则有可能更好地解释本例极限不存在的现象。仿照例3-27中介绍的方法，先在(0,0)附近的小区域生成网格，即可绘制出函数的曲面，如图3-10所示。可见，若选择不同的逼近方向，极限的值可能取(−0.5,0.5)区间的任意值，所以该函数的双重极限确实不存在。

其实，还可以绘制出L=r/(r2+1)的曲线，如图3-11所示，可以看出该函数确实介于(−0.5,0.5)。

     >> r=-10:0.1:10; L=r./(1+r.^2); plot(r,L)