边际效用

迄今为止，我们仅讨论了假设消费效用随消费量增长而增加的例子。虽然在吃鱼的时候，我们可能不太确定多吃鱼效用就会增加；但是在可用美元购买某种消费的案例中，我们可以简单套用以上的假设。因此，我们更关心的是，消费效用随消费量增长的比率是多少？在大多数经济理论中，我们假设消费者会经历边际效用递减的过程，即消费得越多，效用增加的比率会越来越小。

我们继续遵循案例1的假设。图3.1表示Mario的效用函数，图3.2表示他的边际效用函数，两者都是关于他的消费量的函数。从图中可以看到，Mario的消费效用以一个递减的比率随消费量的增长而增加，即边际消费效用随消费量增加而减少。

图3.1　Mario的效用函数

图3.2　Mario的边际效用函数

注意到，Mario的边际效用的下降比率也随消费的增加而减小。边际效用函数在图中表现为向下倾斜的一条曲线，且消费越往右移（消费增加），曲线变得越平坦。读者可能会认为，边际效用函数可能是一个包含诸多参数的复杂函数。但我们从图3.3中看到的事实并非如此，该图表示的是Mario的消费的对数和边际效用的对数之间的关系（如，以log/log表示）。

图3.3　Mario的边际效用对数函数

在图3.3中，Mario的效用曲线为一条直线。这条直线可以通过两个参数来表示——截距（a）和斜率（b）。令m表示边际效用：

ln(m)=a-bln(X)

或等价地表示为：

m=aX^-b

对Mario而言，曲线的斜率是—1.5。回顾前文，我们假设Mario的风险厌恶程度是1.5。在此，可以清晰这些数字的含义：假设Mario拥有一个用图形表示为一条向下倾斜的曲线（如图3.3所示）且曲线的斜率为—1.5的边际效用函数。

更准确地说，某人的边际效用函数（用消费的对数为横轴、边际效用的对数为纵轴的图形表示）的某一点上斜率的绝对值，就是该点上他相对风险厌恶程度。Mario的分析展现了常相对风险厌恶（constant relative risk aversion, CRRA）效用函数。对Hue而言也是如此吗？他的边际效用曲线会更陡峭，因为斜率为—2.5。稍后，我们将会看到此类效用函数的具体内容。

当两个变量都用其对数形式且描绘成曲线图时，经济学家对曲线的斜率定义如下：“在经济学中，弹性是一个变量的增量百分比与由此引起的另一个变量的增量百分比之间的比率。根据前面的定义，弹性一般表示为正值（如绝对值）。”

因此，风险厌恶程度（或风险回避系数）就是边际效用和相应消费的弹性。对于拥有CRRA函数的投资者而言，任意消费水平下的弹性值都相等。当Mario的消费增加1%时，其边际效用相应下降约1.5个百分点；同理，Hue下降2.5个百分点。（真实的数字或许略有差异，因为我们使用曲线上某一点的斜率来衡量弹性，而非用曲线上两点连成的直线斜率衡量弹性。）

广义而言，拥有CRRA函数的投资者更注重边际效用变化的比率而非变化的绝对量。这种行为在其他学者的研究中也被发现了。如Stevens (1957)描述了人的感受的变化程度与刺激强度相关的心理实验，并给出了相对边际感受弹性关于刺激的公式。

本章后面将出现不同类型的边际效用曲线。在此之前，我们先转向边际效用与交易行为的关系研究，这类关系中最重要的就是叫做状态偿付的各种证券。