第三节 复频谱上频率与相位

相位（phase position）一词在《现代汉语词典》里是这样解释的：做正弦变化的物理量，在某一时刻（或某一位置）的状态可用一个数值来确定，这种数值叫相位。在正弦函数式y=sin θ中，θ即相位。在光色变换复频谱色矢量函数式Z=reiθ里，指数θ也是相位，θ=ωT, θ称角频率。用v表示光的频率，ω=2πv，但是当光线进入人眼睛被“定格”以后，映射在复频谱上时间T是不变的，由此相位θ=2πvT。色矢量Z的相位θ仅随频率v的变化在0～2π相域里变化。

现在引入一个表征频率变化的因子n，设T等于1，这样相位θ=n·2π。假设n=1,2, …，是一个正整数列，当n=1时，θ=2π; n=2时，θ=4π; n=3时，θ=6π, …。也就是说，n每增加一个正整数值，θ相位就逆时针旋转一周，增加一个2π，与初始相位重合。可见光的频率只是广阔电磁波频域中很窄的一小部分。设定可见光红端最低频率v0=384MMHz，紫端最高频率为768MMHz，可以看到最高频率正好是最低频率的2倍，其相位也增加一个2π。习惯上设定红端频率384MMHz的相位为0，那么紫端768MMHz的相位就是2π。由此可以设想，可见光的频率从红端的384MMHz开始，在复频谱上按逆时针方向逐渐增加到紫端的768MMHz时，那些中间频率的相位从初始0相位逐渐增加到2π。就是说可见光所有频率均匀地分布在0～2π的相位上。在复频谱极坐标上，0、2π、4π等都是0相位，在可见光所有频率的相位仅仅分布在一个2π条件下，频率因子n就不能是正整数。设可见光频域内任意一个频率为vn，只要满足0≤n≤1，则这时的频率因子，它的相位。式中v0=384MMHz，是红端的最低频率，也是可见光的基频。特别说明的是，上述相位θn的量纲是弧度（rad），而在三角函数运算中相位的单位大多使用角度（°）。所以，若以角度表示相位，则有：

下面，通过几个例题来证明该公式的重要性（空气中光速c=299792×1012nm·s-1）。

解：

例2：可见光波长700nm，请计算其相位。

解：波长700nm，其频率，其相位是，在复频谱色度图上红色区域。

例3：可见光波长546.1nm，请计算其相位。

解：波长546.1nm，其频率，其相位是，在复频谱色度图上绿色区域。

例4：可见光波长435.8nm，请计算其相位。

解：波长435.8nm，其频率，其相位是，在复频谱色度图上为蓝色区域。

以上计算的均为可见光红紫两端范围内频率的相位，那么红紫两端以外且靠近其中一端的频率，其相位如何呢？

例5：请计算红端以外频率为380 MMHz的相位。

解：其相位在复频谱色度图上是顺时针旋转，转向下方蓝区，，即352.25°，在复频谱色度图上蓝色区域。

例6：请计算紫端以外频率为780MMHz的相位。

解：其相位在复频谱色度图上是逆时针旋转，转向上方红区，，即11.25°，在复频谱色度图上为红色区域。

可见光红紫两端以外的频率在人的视网膜上的响应是不会戛然而止的，还会继续延伸，但是会逐渐衰减直至为零。在复频谱色度图上，红光顺时针旋转向蓝色区域，蓝光逆时针旋转向红区。可见光红紫两端的相位0°与360°重合，这个相位的颜色既不是红色，也不是蓝色，而是红色与蓝色两个色矢量1∶1相加后的紫色。其延伸的结果是，在复频谱上，0°以上蓝色成分渐少，红色成分渐强；0°以下则是红色成分渐少，蓝色成分渐强，形成一个由蓝到紫红，再由紫红逐渐向红的连续均匀的色相。可见光频率、波长与相位对应关系见书后附表。

在有些书里把可见光在视觉上显示的红、橙、黄、绿、青、蓝、紫等不同颜色与波长一一对应，定义为色调。在波长域里，红蓝两色分处波长域的两端，不可能形成一个闭合的周期，没有矢量的特性，当然也就没有相位的含义。需要说明的是，只有颜色与频率的相位一一对应，才能称为色相。在这里颜色的相位有着明确的矢量含义。

光线从进入眼睛到产生色知觉，大约需要几十毫秒的时间，把这个时间定为T，那么ωT=θ，而角频率ω=2πv, v为可见光的频率，这时的θ=2πvT，它表征的是在同一时刻T，不同频率映射在复频谱上，被“定格”在0～2π的不同相位上。光在这个频率的相矢量映射在复频谱上定格成了色矢量，其光与色的联系和区别如表4-2所示。频率v与相位θ不仅成正比关系，而且呈环状均匀分布。多年来，人们追求的色相与频率均匀变化的愿望，在复频谱上得以实现。

自从1931年CIE颁布了1931CIE-XYZ色度系统以后，人们就可以对颜色进行测量并给出定量描述。检测颜色最常用的仪器就是分光光度计，通过仪器把检测结果用光谱图的形式记录下来。可见光波长范围一般取380～780nm，以波长作为横坐标，对于光源以相对光谱功率分布作纵坐标；对于物体依据表面状况，可以反射率因数或透射率作为纵坐标，将测得的数据标在对应横坐标波长的纵坐标上，青色油墨的光谱图如图4-4所示。

由于光的波长与频率有着一一对应的关系，所以也可以用频率为横坐标作图，同样用光的反射率因数或透射率作纵坐标，则青色油墨的频谱图如图4-5所示。

无论是光波还是机械波，它们的共性都是以波动的形式传递能量。人们关心的是波在传递过程中能量是如何分布的。由于波的传播是随时间而变化的，把波动在时域里的能量分布进行积分是一种方法。另外，把波动在频域里的能量分布进行积分也是一种方法。无论是在时域里积分还是在频域里积分，虽然积分变量不同，结果是等效的。同样一个波函数，只要它是可解析的，既可以在时域里动态下进行积分，也可以在频域里静态下进行积分，这就是波函数研究中最常用的积分变换方法。