走进奇妙的数学世界(小学六年级)
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5.3 埃及分数再思考

古埃及人是用什么方法把分数转化为埃及分数的呢?古书中没有记载,后人也弄不明白,这又是一个谜。1202年,意大利比萨的一位绰号叫斐波那契的人,在他出版的一本名叫《计算之书》的著作中提出:任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和。

这个结论直到1880年才被英国数学家西尔维斯特严格证明。

其实任何真分数ab)都可以表示成:

式中:x表示的整数部分,即不超过的最大整数,它常记作[]。

反复利用上式即可将化为埃及分数之和。

例如,将化为埃及分数之和,因为x表示的整数部分,,整数部分为1,所以x=1。

由式(1)有

继续代入式(1),有,因此,

若注意到下面的式子:

你会发现:分数转化为埃及分数之和的表示法并不是只此一种。

近年来,人们又对埃及分数的研究产生了极大的兴趣,比如有人发现:分母是奇数的分数,总可以表示为分母全是奇数的相异的埃及分数之和。

再如,关于1表示为埃及分数之和的问题就有不少新的提法,比如1能否表示为分母全部是奇数的埃及分数之和呢?若能,最少有多少项?