命题IV.13

可以作正五边形的内切圆。

设：ABCDE为给定的等角等边的五边形。

求：五边形ABCDE内作一个内切圆。

令：分别作线段CF、DF平分∠BCD、∠CDE，CF、DF相交于点F，连接FB、FA和FE（命题I.9）。

那么，因为：BC等于CD，CF是公共边，BC、CF分别等于DC、CF，∠BCF等于∠DCF。

所以：底BF等于底DF，三角形BCF全等于三角形DCF，其余角等于其余角（命题I.4）。

所以：∠CBF等于∠CDF。

又，因为∠CDE是∠CDF的两倍，∠CDE等于∠ABC，同时∠CDF等于∠CBF，所以：∠CBA也等于∠CBF的两倍。

所以：∠ABF等于∠FBC。所以：∠ABC被线段BF平分。

同样，可以证明出∠BAE、∠AED分别被线段FA、FE平分。

现在从F点作FG、FH、FK、FL和FM分别垂直于AB、BC、CD、DE和EA（命题I.12）。则∠HCF等于∠KCF，直角∠FHC也等于直角∠FKC。FHC、FKC是有两个角和一条边对应相等的两个三角形，即FC为公共边。

所以：它们的余边相等。所以：垂线FH等于垂线FK（命题I.26）。同样，也可以证明出线段FL、FM和FG也等于线段FH、FK。

所以：五条线段FG、FH、FK、FL和FM相互相等。

所以：以F为圆心，以线段FG、FH、FK、FL和FM之一为半径作出的圆，经过余下的点，并与线段AB、BC、CD、DE和EA相切，因为点G、H、K、L和M上的角是直角。

如果它们不相切，而是相交，就会有这样的结果：过圆的直径的端点与直径成直角的直线将落在圆内，这是荒谬的（命题III.16）。

所以：以F为圆心，以线段FG、FH、FK、FL和FM之一为半径的圆不能与线段AB、BC、CD、DE和EA相交，所以它们相切。

所以：在等角等边的五边形内可以作一个内切圆。

证完