§2-3　轴向拉伸（压缩）时杆横截面上的应力

一、拉（压）杆横截面上的应力

这里以拉杆为例说明如何分析其横截面上的应力。为此首先要知道横截面上内力的分布规律。由于材料在变形和受力之间总有一定的关系，故要知道这种规律，可从观察拉杆的变形现象入手。为此，做如下实验：取一等直杆，在其表面上距杆端稍远处画出一系列与轴线平行的纵向线和与其相垂直的横向线[图2-5（a）]。然后在杆两端加轴向拉力F[图2-5（b）]，使杆发生轴向拉伸。此时，可以观察到如下的现象：任意两条相邻的横向线只作了相对的平移，即两横向线间所画的各纵向线伸长均相同。如果把杆设想成由无数纵向纤维组成，根据各纤维的伸长都相等，可知它们所受的力也相等，如图2-5（c）。于是可做如下假设：杆在变形前其横截面为平面，变形后仍为平面。这个假设称为平面假设，它是材料力学中一个重要的假设。

据此可知，在横截面上作用着均匀分布的正应力σ。若杆轴力为FN，横截面积为A，于是

式中的轴力FN可通过截面法根据作用在杆上的外力求得。

对于轴向压缩杆，上式同样适用。由于前面已规定了轴力的正、负号，由公式（2-1）可知，正应力也随着轴力FN而有正负区别：拉应力为正，压应力为负。

【例2-2】　图2-6（a）为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷G=15kN。当G移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。

解：当载荷G移到A点时，斜杆AB受到的拉力最大，设其轴力为FN，max，根据横梁[图2-6（c）]的平衡条件∑MC=0，得

由三角形ABC求出

代入FN，max的表达式，得

由此求得AB杆横截面上的应力为

二、拉（压）杆斜截面上的应力

前面讨论了直杆轴向拉伸或压缩时，横截面上正应力的计算，今后将用这一应力作为强度计算的依据。但对不同材料的实验表明：拉（压）杆的破坏并不都沿横截面发生，有时却沿斜截面发生。为了更全面地研究拉（压）杆的强度，应进一步讨论斜截面上的应力。

设直杆的轴向拉力为F[图2-7（a）]，横截面面积为A，由公式（2-1），横截面上的正应力σ为

设与横截面成α角的斜截面的面积为Aα，Aα与A之间的关系应为

若沿斜截面k-k假想地把杆件分成两部分，以Fα表示斜截面上的内力，由左段的平衡条件[图2-7（b）]可知

Fα=F

仿照证明横截面上正应力均匀分布的方法，也可得出斜截面上的应力均匀分布的结论。若以pα表示斜截面k-k上的应力，于是

将式（b）代入上式，并利用式（a）所表示的关系，得

把应力分解成垂直斜截面的正应力σα和相切于斜截面的切应力τσ[图2-7（c）]：

σα=pα·cosα=σ·cos2α　　　（2-2）

前面已经规定了正应力的符号，至于切应力的符号，可按以下规则确定：切应力对所在截面内侧任一点之矩为顺时针方向时，为正号；反之，则为负号。图2-7（c）的切应力τα为正号。从式（2-2）看出，当α=0时σα最大，σmax=σ；当α=+45°时τα最大，τmax=σ/2；当α=-45°时τα最小，τmin=-σ/2。故轴向拉（压）杆件的最大正应力发生在横截面上，数值最大的切应力发生在与轴线成±45°的斜截面上，其值为最大正应力的一半。因此只要横截面上的正应力强度条件得到满足，其他截面则不必考虑，其道理见第11章。