§2-10 简单的拉压静不定问题_材料力学-QQ阅读男生历史网

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§2-10　简单的拉压静不定问题

一、静不定问题的概念和一般解法

在前面的讨论中，结构的约束力和杆件的轴力可以用静力学平衡条件求出，这种情况称为静定问题（如图2-22）。在某些情况下，作用于研究对象上的未知力数，多于静力学平衡方程数目，这时就不能单凭静力学平衡方程来求解出未知力，这种问题称为静不定问题。未知力多于静力学平衡方程的数目称为静不定次数。如图2-23（a）所示的杆系，节点A的静力学平衡方程为两个，而未知力为三个，所以属于一次静不定问题。

解静不定问题，除列出静力学平衡方程外，还需要找出足够数目的补充方程。这些补充方程，可由结构变形的几何关系以及力和变形间的物理关系来建立。由补充方程和静力学平衡方程即可求得全部的未知力。

图　2-22

图　2-23

现以图2-23（b）的杆系为例，说明求解静不定问题的全部过程。设杆1、2的长度、材料弹性模量和截面积均相同，即l1=l2，A1=A2，E1=E2。杆3的长度为l，横截面面积为A3，材料的弹性模量为E3，求在垂直力G作用下的各杆的轴力。

这是一次静不定问题，故须寻找一个补充方程式。首先根据各杆的变形可能性，假设节点A上的各轴力方向如图2-23（b）所示，列出节点A的静力学平衡方程为

∑Fx=0，　FN1sinα-FN2sinα=0　　　（a）

∑Fy=0，　FN3+FN1cosα+FN2cosα-G=0　　　（b）

三根杆受力前汇交于A点，在外力作用下受力后仍交于一点。因此，三根杆的变形量之间必定保持互相协调的几何关系。由于1、2杆的长度、材料弹性模量和截面积均相同，且左右对称，因此A点必沿铅垂方向移动到A′点[图2-23（c）]，则AA′为3杆的变形量Δl3。从A′做AB延长线的垂线A′E，在小变形条件下，垂线A′E可代替以B为圆心，以BE为半径所画的圆弧。因此，AE即为1杆的变形量Δl1。同理，也可确定2杆的变形量Δl2。于是，得到下列变形几何方程：

Δl3cosα=Δl1　　　（c）

再根据物理条件（虎克定律），得

将上式代入到式（c）即得所需的补充方程

将（a）、（b）、（d）三式联立求解，得

上述求解方法对一般静不定问题均适用，总结如下：

（1）根据静力学平衡条件列出独立的平衡方程；

（2）根据变形协调的要求，列出变形几何方程；

（3）列出应有的物理关系，这通常是虎克定律；

（4）从（2）、（3）两项得到补充方程；

（5）联立解平衡方程和补充方程，即得问题的解答。

由上述的步骤可见，求解拉压静不定问题时，必须从静力学、变形几何和物理这三方面来建立有关的方程。按这三方面研究问题的方法是材料力学及其他变形固体力学所通用的方法，它具有一般性的意义。

【例2-8】　一铰接结构如图2-24（a）所示。在水平刚性横梁的B端作用有载荷F。铅垂杆1和2的抗拉压刚度分别为E1A1和E2A2。若横梁的自重和变形均不计，试求两杆的轴力。

图　2-24

解：首先取如图2-24（b）所示的分离体并作受力图。设1、2两杆的轴力均为拉力，分别用FN1、FN2表示；铰链A处的约束力的水平和垂直分量分别为FAx和FAy，指向如图2-24（b）中所示。显然，它们构成一个含有四个未知力的平面一般力系。所能列出的独立平衡方程只有三个。由此可见，这是一次静不定问题，故须建立一个补充方程。

（1）平衡方程

由于本题中并未要求解出铰链A处的约束力分量FAx和FAy，故只需列出以A点（图b）为矩心的力矩方程∑MA=0即可满足解题需要。由此得

FN1a+2FN2a-2Fa=0　　（a）

（2）变形几何方程

由于刚性横梁AB的变形不计，故它受载荷F作用后仍保持为直杆，因而两杆1和2的伸长量必须与如下的约束情况相协调：两杆的下端C、B两点仍应保持在一条直线上。设分别以Δl1、Δl2表示两杆1和2的伸长量，则由图2-24（b）可知，它们之间应保持下列关系：

（3）物理关系

若应力不超过材料的比例极限时，则应有

（4）补充方程

将式（c）的关系代入式（b），整理后，即得补充方程为：

联立（a）、（d）两式，得

由上面结果可以看出，在静不定杆系问题中，每根杆的内力不仅与外载荷有关，而且与该杆的刚度和其他杆的刚度比值有关；任一杆件刚度的改变，都将引起杆系中所有各杆内力的重新分配。这是静不定问题区别于静定问题的特点之一。

二、装配应力

构件在制成后有微小的尺寸误差是常见的。在静定结构中，这种微小误差只会引起结构几何形状有微小变化，而不会在构件内引起内力。如图2-25所示的结构中，若杆1做得比原设计长度l稍短了δ（δ≪l），则横梁装配后将成A′C′B。在没有外力作用时，不管这些杆长的准确度怎样，杆1和杆2的内力均等于零。

可是，对于静不定结构则有不同的特点。例如，图2-26所示的结构，若三杆的材料、截面积均相同，AB为刚体。杆1的长度比应有的长度短δ，则装配时必须把杆1拉长至C′，同时把杆2和3分别压短至B′和A′，才能装配成如图2-26中实线所示位置。这样装配后，结构虽未受到载荷作用，但各杆中已有内力。这时引起的应力称为装配应力。在工程中，装配应力的存在，一般是不利的，但有时也可有意识地利用装配应力以提高结构的承载能力。

图　2-25

图　2-26

【例2-9】　有一不计自重的刚梁挂在三根平行的金属杆上，1、3两杆与杆2之间的距离均为a，截面积为A，材料的弹性模量E均相同，如图2-27（a）所示。其中杆2比设计长度l短了δ（δ≪l），装配后，当在B处受载荷F时，试求各杆的内力。

图　2-27

解：（1）平衡方程

以刚体ABC为研究对象，做受力图[如图2-27（b）]。平行力系只能列出两个有效的静力平衡方程，但本题有三个未知力FN1、FN2和FN3。显然，这是一次超静定问题。今设三根杆的内力均为拉力，则

∑Fy=0，　FN1+FN2+FN3-F=0　　　（a）

∑MB=0，　　-FN1a+FN3a=0　　　（b）

（2）变形几何方程

现观察各杆可能发生的变形情况，以便建立变形几何方程式。根据对称性，刚梁受载后必平移至新的位置[如图2-27（c）]。由此，可得变形几何方程

Δl1=Δl3=Δl2-δ　　　（c）

（3）物理关系

由于δ≪l，2杆的长度可以用l，而不必用l-δ。

（4）补充方程

将式（d）代入到式（c）中，整理即得补充方程

联立式（a）、（b）和（e）得

三、温度应力

由物理学可知，杆件的长度将因温度的改变而发生变化。在静定结构中，由于杆件能够自由变形，故这种由于温度改变而引起的变形不会在杆件中引起内力。但在静不定结构中，这种变形将引起内力。这种内力，称为温度内力，和它相应的应力称为温度应力。工程中常采用一些措施来降低温度应力的影响，例如在蒸汽管道中设直弯管伸缩节等。

温度应力的计算方法与解静不定问题相似，不同之处在于杆的变形包括由温度引起的变形和由力引起的弹性变形两部分。

如图2-28所示，AB为一装在两个刚性支承间的杆件。设杆AB长为l，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为α。当温度升高ΔT以后，杆将伸长[图2-28（b）]，但因刚性支承的阻挡，使杆不能伸长，这就相当于在杆的两端施加了压力。设两端的压力为F1和F2。