1.5　极限的基本性质和运算法则

下面的定理对x的任一种变化趋势均成立，我们仅以过程x→x0为例给出证明.

1.5.1　极限的基本性质

定理1.7（唯一性）　若函数f（x）在自变量x在某一变化趋势之下有极限，则极限必唯一.

证明　反证法.设，又，且A≠B，则|A-B|＞0.

因为，所以对于，使得当0＜|x-x0|＜δ1时，

恒有

同理，对于 ，使得当0＜|x-x0|＜δ2时，恒有

取δ=min{δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，不等式

同时成立，从而有

矛盾.故A=B，即极限若存在必唯一.

定理1.8（局部有界性）　若函数f（x）在自变量x某一变化趋势之下有极限，则f（x）在对应变化区间上是有界的.

证明　由极限定义，对于∃ε=1，δ＞0使得当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）-A|＜1，从而|f（x）|=|f（x）-A+A|＜|A|+1，故函数f（x）有界.

定理1.9（局部保号性）　如果，并且A＞0（或A＜0），则存在x0点的去心邻域，使得当时，有f（x）＞0（或＜0）.

证明　设，则∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，|f（x）-A|＜ε.因为ε是任意小的正数，不妨取，则当0＜|x-x0|＜δ时，有

定理1.10（保号性）　如果，且在x0点的某一去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），则A≥0（或≤0）.

证明　反证法.若A＜0，由定理1.9知在x0点的某一去心邻域内f（x）＜0，这与已知矛盾，所以A≥0.

类似可证f（x）≤0的情形.

推论（局部保序性）　如果函数f（x），g（x）在同一极限过程中有极限.则在相应区间，当A＜B时，有f（x）＜g（x）；当f（x）≤g（x）时，有A≤B.

1.5.2　极限的运算性质

定理1.11（四则运算法则）　如果函数f（x），g（x）在自变量x的同一变化趋势下有极限，设limf（x）=A，limg（x）=B，则

（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；

（2）lim[f（x）·g（x）]=limf（x）·limg（x）=A·B；

（3）

证明　三个公式证明的思想方法是一致的，仅给出（1）的证明，以x→x0为例.

设.则f（x）=A+α，g（x）=B+β，其中α，β是该极限过程中的无穷小.则有

f（x）±g（x）=（A±B）+（α±β），

定理中的（1）（2）可推广到有限多个函数的情形，另外还有如下推论.

推论　（1）limk·f（x）=klimf（x）（k为常数）；

（2）lim[f（x）]n=[limf（x）]n（其中n是非负整数）.

【例1】　求

【例2】　求

解　原式=2×23-4×2+1=9.

【例3】　求

【例4】　求

一般地，若，其中P（x），Q（x）均为多项式，则，.若Q（x0）≠0，由商的极限运算法则可得

即求过程x→x0时有理分式函数F（x）的极限，只需将x=x0代入多项式F（x）求对应值即可.

【例5】　求

解　因为当x→3时分母的极限为零，所以不能用代入法求.

【例6】　求

解　因为当x→2时，括号中两项极限均不存在，所以不能直接用极限的减法法则.应先通分进行恒等变形.

【例7】　求

解　因为当x→∞时，分子、分母的极限都不存在，所以不能直接用商的极限法则.利用，先恒等变形.

【例8】　求

解　注意到分子多项式的次数大于分母的，不能直接用上题的方法.

因为，所以原式=∞.

一般地，可直接求x→∞时有理分式函数的极限：

定理1.12（极限的复合运算法则）　设函数y=f（u）及u=φ（x）构成复合函数y=f（φ（x）），若，且当x≠x0时u≠a，则复合函数y=f（φ（x））当x→x0时的极限存在，且

证明　由于当0＜|u-a|＜η时，恒有

|f（u）-A|＜ε.

又因为，所以对于上面的η，∃δ＞0当0＜|x-x0|＜δ时，恒有

|φ（x）-a|＜|u-a|＜η.

又由假设当x≠x0时，u≠a，则|x-x0|＞0时，必有|u-a|＞0；所以0＜|x-x0|＜δ时，必有0＜|u-a|＜η，从而就有|f（u）-A|＜ε，所以

定理1.12表明：，即在里、外层函数的极限都存在的条件下，求复合函数的极限可转化为求极限.这是个很重要的等式，反向思维理解它，它蕴含了“变量代换”的思想，即可用变量代换的方法求极限：设x=φ（t），而x→x0时t→t0，则有

【例9】　求

解　令，则

又，所以原式

【例10】　求

解　因为当时x→0，分母极限为零，所以不能直接用商的极限法则.先恒等变形，将函数“有理化”.

【例11】　求

习题1.5

1.求下列极限：

2.已知，求

3.利用复合函数的运算法则，求

4.已知，求a，b的值.