1.4　无穷小量与无穷大量

1.4.1　无穷小量

1.无穷小的概念

在某一极限过程中，以0为极限的函数α（x）称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小.无穷小量只是极限的一个特殊情况，因而可由极限的定义得到无穷小的精确定义，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义.

定义1.10　设α（x）在x0点的某一去心邻域内有定义.若（x0可为∞），则称α（x）为x→x0时的无穷小.

例如，当x→1时，函数x2-1是无穷小；当x→1+时，函数是无穷小.

无穷小不能脱离极限过程，如x→0时，x2-1就不是无穷小；无穷小不是很小的数，任何一个非零常数，不论其绝对值如何小都不是无穷小；不能把无穷小混同于习惯上说的“很小的量”，后者只是一种相对的、较为模糊的对象，并无确切的数学内涵.实数中只有0是无穷小.

x→x0时的无穷小的ε-δ语言描述为：

，当0＜|x-x0|＜δ时，|α（x）|＜ε.

下面分析一下无穷小与极限的关系，仍以x→x0为例叙述.

若，使得当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|f（x）-A|＜ε.其充要条件是当X→x0时，f（x）-A是无穷小，表示为f（x）-A=α.

2.无穷小与函数极限的关系

定理1.4　，其中α是x→x0时的无穷小.

证明　若，则，令f（x）-A=α，即f（x）=A+α，其中α是当x→x0时的无穷小.

反之，若f（x）=A+α，其中A是常数，则令α=f（x）-A，α是当x→x0时的无穷小，则

定理1.4表明，极限的存在问题都可归结为无穷小量的问题，可见无穷小在极限理论中的重要性.因此，有必要对其性质加以研究.

3.无穷小的性质

定理1.5　无穷小具有如下性质：

（1）自变量同一变化趋势下的有限个无穷小之和是无穷小；

（2）有界函数与无穷小之积仍然是无穷小.

证明　现仅给出（2）的证明.

考虑极限过程为x→x0，设g（x）有界，存在M＞0，使得|g（x）|≤M；f（x）是x→x0时的无穷小，由定义，，当0＜|x-x0|＜δ时，；即∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，

推论1　常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2　自变量同一变化趋势下的有限个无穷小量的乘积是无穷小.

【例1】　求

解　由于，故在x=0的任一去心邻域内是有界的，而函数x当x→0时是无穷小，所以

1.4.2　无穷大量

若在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值|f（x）|无限增大，则称f（x）为该过程中的无穷大量，简称无穷大.

定义1.11　如果对于任意给定的M＞0，总存在δ＞0（或X＞0），使得对于适合不等式0＜|x-x0|＜δ（或|x|＞X）的一切x，所对应的函数值f（x）都满足不等式

|f（x）|＞M，

则称f（x）是x→x0（x→∞）时的无穷大，记作

由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大.且若函数是无穷大，则函数无极限，但为描述函数的这种变化性态，也称函数的极限是无穷大，并且若，则曲线y=f（x）有一条垂直渐近线：x=x0.无穷大与极限过程有关，是x→1时的无穷大，但当x→2时，就不再是无穷大.

【例2】　证明：

证明　∀M＞0，要使，只要，取

当，时就有.所以

1.4.3　无穷小与无穷大的关系

定理1.6　在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则必为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则为无穷大.

证明　仅就过程x→x0给出证明.

设，对于任意给定的ε＞0，由无穷大的定义，对于，当0＜|x-x0|＜δ时，有，即，表明是x→x0时的无穷小.

反之，设f（x）≠0且f（x）是x→x0时的无穷小，即

对于任意大的M＞0，由，对于，当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）|＜ε，即，表明是x→x0时的无穷大.

由无穷大的定义知，若函数是某过程时的无穷大，则它必是此变化范围上的无界函数.但反过来不一定成立.

例如，函数f（x）=xcos x是（-∞，+∞）上的无界函数，因为对于任意正整数M，有xM=2Mπ，使得f（xM）=2Mπcos2Mπ=2Mπ＞M.

但当x→∞时它不是无穷大.因为对于正整数M，∀X＞0，使得

所以，无穷大是无界函数，但无界函数未必是无穷大.

习题1.4

1.根据定义证明：当x→0时为无穷小.

2.求

3.证明：

4.求