1.1 函数_高等数学（独立院校用）·上册-QQ阅读男生轻小说网

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1.1　函数

1.1.1　基本概念

1.集合

具有某种属性的对象的全体称为集合，可用大写字母A，B，C，…来表示.例如，全体实数的集合R，全体有理数的集合Q.

构成集合的对象称为元素，用小写字母a，b，c，…来表示.

元素a是集合A中的元素，记作a∈A，读作a属于A；a不是集合A的元素，记作a∉A，读作a不属于A.

2.区间

设a，b∈R，且a＜b，

数集{x|a＜x＜b}称为以a，b为端点的开区间，记为（a，b）；

数集{x|a≤x≤b}称为以a，b为端点的闭区间，记为[a，b].

类似可定义[a，b）与（a，b]称为半开半闭区间.

以上这些区间都称为有限区间.

集合{x|x＞a}称为无限区间，记为（a，+∞），类似还有无限区间：

[a，+∞）={x|x≥a}；（-∞，b）={x|x＜b}；（-∞，+∞）={x|x∈R}等.

3.邻域

设a为任意实数，δ是一个正实数，称开区间（a-δ，a+δ）为点a的δ邻域，记为U（a，δ），即

U（a，δ）=（a-δ，a+δ）={x|x-a|＜δ}.

点a的δ去心邻域为

1.1.2　函数

1.函数的概念

定义1.1　设A，B⊂R是两个非空数集，若对于每个数x∈A，按照某个确定的法则f，有确定的数y∈B与之相对应，则称f：A→B为A到B的函数，记为

y=f（x），x∈A.

其中x称为自变量，y称为因变量或函数.当x取数值x0∈A时，与x0对应的y的数值称为函数y=f（x）在点x0处的函数值，记作f（x0）.当x取遍A的各个数值时，对应函数值的全体所构成的数集f（A）={y|y=f（x），x∈A}称为函数的值域，A称为函数的定义域.

定义域的约定　函数的定义域是使表达式有意义的自变量的全体.在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.

函数的两个要素　确定一个函数的两个要素是：定义域和对应法则.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同（在两个对应法则下，相同的自变量对应相同的因变量），那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的两个函数.

单值函数与多值函数　根据函数的定义，当自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数.以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数.用一个解析式子来表示函数是最重要的表示函数的方法，但不是唯一的方法.借助于图形的直观形象表示有助于掌握函数的变化规律.

例如，汽车的计速器把车轮转动的角速度转换为表盘上指针的相应位置，即指示汽车的速度.画出车速关于时间的图形，得到车辆起步后的速度图（图1-1），从图中可以清晰地看到车加速和减速的全过程：起步后迅速加速，至10min后又缓缓减速，直至40min时停下.

图1-1

如何得到这40min间汽车经过的路程，并把它显示在里程表上？一般是通过机械装置的运转实现的，这个装置的运转结果实际上是计算出了图中阴影的面积，学了定积分后即可以知道这部分面积恰恰就是汽车经过的里程.由此可见，直观反映变量间依赖关系的几何图形对研究变量的关系起着十分重要的作用，将这种几何图形抽象到数学上就是函数的图像.

设函数y=f（x）的定义域为D，对任一x∈D，对应的函数值为y=f（x），这在xOy面上就确定了一点（x，y），我们称全体这种点的集合

C={（x，y）|y=f（x），x∈D}

为函数y=f（x）的图像（图形）（见图1-2）.

图1-2

（1）绝对值函数

其定义域是（-∞，+∞），值域是[0，+∞）（见图1-3）.

（2）狄利克雷（Dirichlet）函数

（3）符号函数

其定义域是（-∞，+∞），值域是三个点的集合{-1，0，1}（见图1-4）.

图1-3

（4）取整函数

f（x）=[x]

表示不超过x的最大整数，如：[3.01]=3，[π]=3，[3]=3，[-3.01]=[-π]=-4.其定义域是（-∞，+∞），值域是全体整数的集合（见图1-5）.

图1-4

图1-5

（3）和（4）中的函数在自变量的不同变化区间中，函数的表达式也不同，通常称之为分段函数.在自然科学、工程技术、社会科学中，经常会遇到分段函数的情形.

2.函数的四种基本特性

（1）函数的有界性　设函数f（x）在I上有定义.如果存在M＞0，使得|f（x）|≤M（∀x∈I），则称f（x）在I上有界，正数M称为f（x）在I上的界.否则就称f（x）在I上无界.特别地，当I恰为函数f（x）的定义域时，则称函数f（x）为有界函数.

函数有界的几何解释：

如图1-6所示，在坐标平面上，y=f（x）表示一条曲线，∃M＞0，使得函数y=f（x）的图形位于由直线y=-M与y=M构成的带形区域内.

图1-6

如sgn x、sin x和cos x都是（-∞，+∞）上的有界函数.

无界函数定量性质的数学定义为：设f（x）的定义域为I，∀M＞0，∃x0∈I，使得|f（x0）|≥M，则称f（x）是在I上的无界函数.如取整函数为无界函数.

（2）函数的单调性　设函数f（x）的定义域为D，区间I⊂D.如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在区间I上单调增加；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调减少.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

（3）函数的奇偶性　若定义域D关于原点对称，f（-x）=-f（x）（∀x∈D），则称f（x）为奇函数.若定义域D关于原点对称，f（-x）=f（x）（∀x∈D），则称f（x）为偶函数.

（4）函数的周期性　设函数f（x）的定义域为D，如果存在正数l，使得f（x+l）=f（x），（∀x，x+l∈D），则称f（x）是以l为周期的周期函数.

3.复合函数

如果某个变化过程中同时出现几个变量，其中第一个变量依赖于第二个变量，第二个变量又取决于第三个变量，那么第一个变量实际上是由第三个变量所确定.这类多个变量的连锁关系导致了数学上复合函数的产生.在中学数学里，我们就常遇到过这样的函数，如ln sin x，是由对数函数y=f（u）=ln u与三角函数u=φ（x）=sin x复合构成的函数；再如2tan x，是指数函数y=f（u）=2u与三角函数u=φ（x）=tan x复合构成的函数等.

定义1.2　设函数u=φ（x）的定义域为D，并且函数u=φ（x）的值域包含于函数y=f（u）的定义域中，称函数y=f（φ（x））是由y=f（u）与u=φ（x）构成的定义域为D的复合函数.其中u称为中间变量，函数u=φ（x）称为里层函数，函数y=f（u）称为外层函数.

4.反函数

函数可以看作从定义域到值域的一种运算，讨论这种运算的逆运算，就引出了反函数的概念.

定义1.3　若对于每个数y∈B，存在唯一的确定数x∈A与之相对应，满足

f（x）=y，x∈A

按照函数定义，把y∈B看作自变量，x∈A看作因变量，确定了一个新的函数.称这个函数为函数y=f（x）的反函数，记为x=φ（y）或x=f-1（y）.

事实上，函数y=f（x）与x=f-1（y）互为反函数，二者的图像是同一个.依照习惯，把x=f-1（y）中的字母x与y对调，记为y=f-1（x），以保持x是自变量，y是函数.函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，这时函数y=f（x）与反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.

结论　单值单调函数的反函数必为单值单调函数，且单调增加函数的反函数仍单调增加的，单调减少函数的反函数仍是单调减少的.

5.初等函数

在中学里已学过的常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数统称为基本初等函数，中学数学里已重点介绍过基本初等函数，详尽地讨论了它们的定义域、值域、单调（或区间单调）性、奇偶性和周期性.

基本初等函数经四则运算可生成大量的函数，例如：y=1+x2，y=x+sin x，复合运算也可生成新的函数.由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次复合所得到的，能用一个式子表达的函数，称为初等函数.