1.2　数列的极限

极限的概念是高等数学最基本的一个概念，将要介绍的导数、定积分等重要的概念都是建立在极限概念之上的.本节将介绍数列极限的概念.

1.2.1　数列的概念

定义1.4　所谓数列，就是从自然数集N到实数集R的一个映射f：n→f（n），n∈N，也就是定义在N上的一个函数（通常称为整标函数）.对于每个n∈N，按自然数顺序将对应的函数值xn=f（n）排列起来的一排数：x1，x2，…，xn，…，简记为{xn}.数列中的每个数称为数列的项，第n项xn称为数列的通项或一般项.例如，

（3）{（-1）n}：-1，1，-1，1，…；

（4）{2n}：2，4，8，…，2n，…

具体分析某一数列时有多个视角，但数列一般项的变化趋势无疑是最值得重视的.这类研究产生了数列极限的概念.

1.2.2　数列的极限

1.定义

观察上面的数列：数列（1）无限接近于1；数列（2）无限接近于0，即当n无限增大时，数列与某一常数无限接近；数列（3），（4）当n无限增大时数列无上述变化趋势.将数列的这一变化趋势用普通语言描述出来就是中学所介绍的极限的直观描述性定义：

对于数列{xn}，如果存在一个常数a，当n无限增大时（记为n→∞），xn与常数a无限接近，就把常数a叫做数列{xn}的极限.记作，也可简记作xn→a（n→∞）.

这个定义无疑是正确的.但缺乏数学形式精确的、量化的刻画，比如什么叫n无限增大时xn与常数a无限接近？所谓“无限接近”即它们的距离可以任意的小，用数学语言说就是：|xn-a|可以任意的小.以数列（2）为例，就是当n无限增大时的项与0的差的绝对值可以任意的小.比如，要使，即要，只要n＞100；要使，即要，只要n＞10100.

容易看出：要使|xn-a|任意小，只要项数n充分大.

引入ε表示任意小的数（应为正数），上面的表述可以改述为“只要，即，就有|xn-0|＜ε”.简单地说成“只要项数就有|xn-0|＜ε”，如果再把满足不等式|xn-0|＜ε的项数n更明确化，找到正整数，再让n＞N，再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n＞N时，就有|xn-a|＜ε.

从对以上实例的分析，抽象出一般数列极限的定量性质的定义.

定义1.5　设{xn}为一个数列，a为一常数.对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有

|xn-a|＜ε，

则称数列{xn}以常数a为极限，记为

有极限的数列称为收敛数列；否则称为发散数列.

2.数列极限的几何解释

把数列{xn}的项都摆在数轴上（见图1-7），于是，x1，x2，…，xn，…都是数轴上的点.设有一个动点在数轴上跳动，动点的第一个位置在点x1，第二个位置在点x2，……，第n个位置在点xn，……

根据的定义，再由，可得到与之等价的说法：“这个动点跳动到第N次以后，就跳进了邻域U（a，ε）之内，而且永远不跳出来了.”它可以开始时在邻域的外面跳，也可以跳进这邻域再跳出来，重要的是“它能够跳进去而永远不出来”.

更简捷的等价说法是“这个动点在邻域U（a，ε）之外跳动的次数x至多是有限N次”，就是“数列{xn}中至多有有限项不属于点a的邻域U（a，ε）”.

极限是一类运算.前面已经学过许多运算，如四则运算.各类函数也可以认为都是运算.以前学过的各类运算都是由有限个数产生一个数，数列极限则是由一系列无穷多个数产生一个数的运算.数列x1，x2，…，xn，…无限逼近一个常数——它的极限数值，这是一个无穷的渐变过程.经过一系列无穷多次量的渐变，达到了质的突变，得到极限数值.

反过来，用极限这一个数，可以近似代替这一系列无穷多个数中除去有限个之后的所有的数，其近似程度可以达到任意精确的范围（即∀ε＞0）之内.

【例1】　用数列极限定义证明：

证明　因为，对∀ε＞0，要使|xn-1|＜ε，只要，即，取自然数N为的整数部分，即取，则当n＞N时，都有

用数列极限的定义来证明某个数列{xn}以某常数a为极限，或说用数列极限定义来验证已知数列和已知常数的极限关系时，关键是证明N的存在性，而证明N的存在性只需具体地将N找到.从要满足的不等式|xn-a|＜ε入手，找到n与ε的关系，再由此取定一个N，从而说明了N的存在性.即采用分析的方法进行的证明，极为严谨.

【例2】　恒取常值-6的数列（即an≡-6）以常数a=-6为极限.

证明　因为∀ε＞0，不等式|an-a|=|（-6）-（-6）|≡0＜ε对于任意自然数n恒成立，所以，不论怎样选取自然数N（例如取N=1），n＞N⇒|an-a|＜ε.

【例3】　用极限定义证明：

证明　当q=0时，结论显然成立；以下设0＜|q|＜1.

因为|xn-a|=|qn-0|=|q|n，故∀ε＞0，要使|xn-a|＜ε，只要|q|n＜ε，两边取自然对数，得nln|q|＜ln ε，即，取，则n＞N，恒有|qn-0|＜ε成立，所以

【例4】　证明：

证明　因为，所以对∀ε＞0，要使|xn-a|＜ε，只要，即，取，则n＞N时，有

这就是所要证明的，存在一个N就存在无穷多个N，而我们只需要找一个就够用.找哪个呢？当然找那个最好找的，所以放大不等式是简化证明过程的关键，这使得N的选取比较容易了，不必从不等式|xn-a|＜ε中求解N.

3.收敛数列的性质

先介绍两个概念：

（1）有界数列{xn}如果∃M＞0，∀n，恒有|xn|≤M.

（2）数列{xn}的子数列在{xn}中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的顺序，这样所得的数列称为原数列的子数列，简称子列，一般记为

收敛数列的两个性质：收敛数列的有界性和子列的收敛性.

定理1.1　若数列{xn}收敛，则{xn}是有界数列.

证明　设，则对于ε=1，∃N∈N，使得

当n＞N时，|xn-a|＜ε=1.

由　　|xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|＜1+|a|，

可见，当n＞N时，|xn|＜|a|+1.

令　　M=max{|x1|，|x2|，…，|xN|，|a|+1}，

则　　∀N∈N⇒|xn|≤M，

所以数列{xn}有界.

定理1.1　的逆否命题仍成立：无界数列必发散.但逆命题不一定成立，即：有界数列未必收敛，例如通项公式是xn=（-1）n的数列，是发散的数列，但它是有界的.可见收敛的数列只是有界数列中的一部分（见图1-8），即数列收敛是其有界的充分条件，而有界性仅是数列收敛的必要条件.

定理1.2　收敛数列的任意子列仍收敛，且极限不变.

证明　设是{xn}的任一子列，因为，所以∀ε＞0，∃N，当n＞N时，|xn-a|＜ε成立，取K=N，则当k＞K时，nk＞nK=nN≥N，于是，所以

定理1.2的逆命题仍成立：若数列{xn}的任意子列都收敛于常数a，则{xn}收敛，且收敛于a.

习题1.2

1.下列各数列，哪些是收敛数列？哪些是发散数列？对于收敛数列，写出当n趋于无穷大时它们的极限.

2.用数列极限的定义证明下列各题.

3.设数列{xn}的一般项为，求.求出N，使得当n＞N时，xn与xn极限之差的绝对值小于正数ε，当ε=0.001时，求出N.

4.若已知数列{xn}有界，又有，证明