3.3　桩—土—岩共同作用的非线性计算

3.3.1　桩—土—岩共同作用的力学模型

Seed和Reese于1957年首次提出桩身荷载传递函数的双曲线模型，即桩侧摩阻力或端阻力与桩身沉降呈双曲线关系（图3-5），其数学表达式为：

式中　s——桩土相对位移；

a、b——待定系数，其物理意义分别为1/τlim和tan θ0（曲线原点处的切线斜率）。

将式（3-14）变化，可得：

通过实测数据可获取τ-s曲线，由线性回归分析确定双曲线模型中的参数a、b。

3.3.2　双曲线模型参数a、b的取值

（1）桩土侧界面

刘金砺（1996）对极限侧阻的取值进行过总结。根据各表达式所用系数的不同可归纳为α，λ，β法。α，λ法一般用于计算黏性土中的桩，β法适用于黏性土和无黏性土中的桩。

α法的表达式为：

τu=αCu　　（3-16）

式中　α——黏结力系数；

Cu——桩侧土层平均不排水剪切强度。

对于桩土界面土的α值，根据Randolph和Wroth（1978）等人的研究，可表示为：

式中　G0——土在小应变情况下的剪切模量；

R0——桩身横截面半径；

R——桩侧剪应力可以忽略的径向长度。

Baguelin和Frank（1979）建议ln（R/R0）=3～5。

根据试验研究，τult值略大于桩土界面处的极限摩阻力fu。二者间的关系为fu=Rfτult，其中Rf为破坏比，一般取0.75～0.95。

（2）桩岩界面

桩岩界面的侧剪阻宜通过试验确定。无试验时，亦可通过经验类比或相关关系获取。目前国内外学者常用的方法是将桩岩界面极限平均侧阻与岩石单轴抗压强度建立关系，其代表性公式为。

对于桩岩底界面的荷载传递参数，国内外诸多学者研究认为，桩端岩石的极限承载力与岩石无侧限抗压强度可表示为qu=βfrc，其中β为统计参数，根据现场试验确定的极限端阻和岩石无侧限抗压强度统计分析获取。Poulos和Davis（1974）提出了如下计算方法：

式中　n——和桩的嵌岩长度与桩端直径之比（hr/d）有关的系数；

ER和υR——分别表示岩石的弹性模量和泊松比；

d——桩身直径。

3.3.3　荷载传递微分方程的建立及求解

在桩顶荷载作用下，桩—土共同作用模型中取桩身任一微段，由静力平衡条件可得到：

微元体产生的弹性压缩量为：

将荷载传递双曲线模型关系式（3-14）代入式（3-22）得：

式（3-23）即为桩身荷载传递微分方程。对式（3-23）积分，并考虑初始条件Q，s有：

令α2=2upEA得：

式（3-24a）和式（3-24b）中，α是与桩身材料和横截面尺寸有关的常数，a和b是土性参数，可由试验资料计算得到。

求解微分方程（3-22）时仅考虑其初始条件、未引入边界条件，故式（3-23）表示的荷载—沉降关系仅为桩身任意位置处由于荷载引起的弹性压缩量与引起该弹性压缩量所需的桩身轴力之间的关系，未包括桩身刚性位移对桩身轴力的影响。一般地，桩的刚性位移可认为是桩端土层压缩引起的沉降量。故桩身沉降等于桩身弹性压缩位移se（z）与桩身刚性位移sb之和：

s（z）=se（z）+sb　　（3-25）

根据荷载传递函数双曲线模型，在桩端有：

式中　σb——桩端阻力；

sb——桩端沉降量；

ab，bb——桩端土的荷载传递函数参数。

由式（3-26）可得出桩端总反力为：

将作用于桩顶的荷载记为Q0，桩顶沉降量为s0，桩端产生沉降量sb时，桩身摩阻力及轴力分布如图3-6所示。图中τ0和τb可表示成：

桩身任意截面处有：

Q（z）=Qb+Qe（z）　　（3-29）

式中　Qb——使桩端产生沉降sb所需的轴向力；

Qe——使桩身产生弹性压缩量se所需的轴向力，即式（3-23）所表示的轴力。

将式（3-23）、式（3-28）代入式（3-29）得：

式中　se（z）——z深度以下部分桩所产生的弹性压缩量；

as，bs——与桩侧土的性质有关的荷载传递函数参数。

在桩顶则有：z=0，se（0）=se0。此处se0为整个桩身所产生的总弹性压缩量。于是有：

上式即为桩顶荷载与沉降的关系式。若给定不同的sb（或se0）则可求出不同的se0（或sb），就能求出不同的s0和Q0，从而可以得到桩的荷载—沉降关系曲线Q0-s0曲线，即通常所说的P-S曲线。对于桩侧土为多层土的情形不难得到：

式中　asi、bsi——与桩侧第i层土的性质有关的荷载传递函数参数；

n——桩深范围内的土层数。

上述计算过程可以十分方便地编成程序，用计算机来完成计算并绘出Q0-s0关系曲线。