1.5 事件的独立性
前面我们已经研究了彼此之间有关系的事件，如不能同时发生的事件A和B（称为互不相容或互斥事件，即A∩B＝Ø，此时P（A｜B）＝0；而当A⊂B时，P（B｜A）＝1．
现在可以提出一个问题，是否存在事件A发生与否不受事件B是否发生的影响的情况？事实上，事件A发生与否不受事件B的影响，也就是意味着有P（A）＝P（A｜B），即无条件概率等于条件概率．
这时乘法公式就有了更自然的形式：
P（AB）＝P（B）P（A｜B）＝P（B）P（A）．
由此启示我们引入下述定义．
定义1.8 设A、B是两事件，如果满足等式
则称事件A与B相互独立，简称A、B独立．
易知，若P（A）＞0，P（B）＞0，则A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立．
定理1.4 设A、B是两事件，且P（A）＞0，若A、B相互独立，则P（A）＝P（A｜B），反之亦然．
例如，将一枚匀称的骰子投掷两次，定义事件如下：A＝{第一次出现偶数}，B＝{第二次出现5或6}，直观上很清楚，A和B完全无关．验证：
定理的正确性是显然的．
定理1.5 若事件A与B相互独立，则A与
与B，
各对事件也相互独立．
证 因为
，得
所以有
这就证明了A与
的相互独立性．对
与B，
各对事件的相互独立性，请读者自行证明．
【例1.24】分别掷两枚均匀的硬币，令A＝{硬币甲出现正面}，B＝{硬币乙出现正面}，验证事件A与B是相互独立的．
证 这时样本空间为
Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
共含有4个基本事件，它们是等可能的，各有概率为
，而
A＝{（正，正），（正，反）}，B＝{（正，正），（反，正）}，AB＝{（正，正）}，由此知，
，这时有
成立，所以A、B相互独立．
下面我们将独立性的概念推广到三个事件的情况．
定义1.9 设A、B、C是三个事件，如果同时满足下列等式：
P（AB）＝P（A）P（B），
P（AC）＝P（A）P（C），
P（BC）＝P（B）P（C）
P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
则称事件A、B、C相互独立．
一般地，设A1，A2，…，An是n（n＞2）个事件，如果同时满足下列等式：
P（AiAj）＝P（Ai）P（Aj）（∀i≠j），
P（AiAjAk）＝P（Ai）P（Aj）P（Ak）（∀i、j、k互不相等），
……
P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An），
即对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件积的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
值得注意的是，n（n＞2）个事件相互独立必然有事件两两相互独立，而两两相互独立的事件不一定n个事件相互独立．
例如，将一个均匀的四面体一面涂上红色，一面涂上黄色，一面涂上黑色，第四面涂上红、黄、黑三种颜色，任取一面观察其颜色．令A＝{有红色}，B＝{有黄色}，C＝{有黑色}，则
即有事件A、B、C两两相互独立．但
这说明事件A、B、C不是相互独立的．
事件相互独立的含义是它们中一个事件已经发生，不影响另一个事件发生的概率．在实际应用中，对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断．
【例1.25】要验收一批（100件）乐器．验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试结果是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为是音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01．如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？
解 以Hi（i＝0，1，2，3）表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0、H1、H2、H3是Ω的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”．已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0.05，并且3件乐器的测试结果是相互独立的，于是有
P（A｜H0）＝0.993，
P（A｜H1）＝0.992×0.05，
P（A｜H2）＝0.99×0.052，
P（A｜H3）＝0.053．
【例1.26】一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠度，一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠度．用2n个相同的电子元件组成一个系统，有两种不同的连接方式，第Ⅰ种是先串联后并联，如图1.2所示；第Ⅱ种是先并联后串联，如图1.3所示．
图1.2 先串联后并联
图1.3 先并联后串联
如果各个元件能否正常工作是相互独立的，每个元件能正常工作的概率为p，试比较两个系统哪一个更可靠一些（即可靠度更大一些）．
解 对于系统Ⅰ，它有两条通路工作，分别记这两条通路的可靠度为R1－1和R1－2，每条通路能正常工作当且仅当该通路上的所有元件都能正常工作，由独立性知，每一条通路的可靠度为
R1－1＝R1－2＝pn，
于是系统Ⅰ的可靠度为
R1＝1－（1－R1－1）（1－R1－2）＝1－（1－pn）2＝pn（2－pn）。
对于系统Ⅱ，先求每一个并联的小节（如图1.4所示）的可靠度，由每个电子元件工作的独立性知，每一个小节的可靠度为
R2－i＝1－（1－p）2＝p（2－p）（i＝1，2，…，n），
图1.4 并联小节
而整个系统由相同的n个小节串联而成，再一次利用独立性即可得到系统Ⅱ的可靠度为
R2＝R2－1R2－2…R2－n＝[p（2－p）]n＝pn（2－p）n．
利用数学归纳法，可以证明当n≥2时，总有
（2－p）n＞2－pn
成立．从而当n≥2时，有R2＞R1，即系统Ⅱ比系统Ⅰ更可靠些．
【例1.27】 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为
．问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？设各局胜负相对独立．
解 采用三局二胜制，若甲最终获胜，其胜局的情况是“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得
p1＝P（甲获胜）＝p2＋2p2（1－p）．
采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局（可能赛3局，也可能赛4局或5局），且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局．例如，共赛4局，则甲的胜局情况是“甲乙甲甲”“乙甲甲甲”“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容．由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
而 p2－p1＝p2（6p3－15p2＋12p－3）＝3p2（p－1）2（2p－1），
当
时，p2＞p1；当
时，
.故当
时，对甲来说采用五局三胜制更为有利；当
时，两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50％．