1.3　地球坐标系统[2]，[6]～[10]

1.3.1　动力学参考系的实现与J2000.0平赤道参考系

当前的观测数据，如太阳系行星历表等，都是在国际天球参考系ICRS（International Celestial Reference System）中描述的，该参考系的坐标原点在太阳系质心，其坐标轴的指向由一组精确观测的河外射电源的坐标实现，称作国际天球参考架（ICRF），而具体实现是使其基本平面和基本方向尽可能靠近J2000.0平赤道面和平春分点。由河外射电源实现的ICRS，坐标轴相对于空间固定，所以与太阳系动力学和地球的岁差、章动无关，也脱离了传统意义上的赤道、黄道和春分点，因此更接近惯性参考系。

引入ICRS和河外射电源实现参考架之前，基本天文参考系是FK5动力学参考系（严格地说是由动力学定义，并考虑了恒星运动学改正的参考系），基于对亮星的观测和IAU 1976天文常数系统，参考系的基本平面是J2000.0的平赤道面，X轴的方向为J2000.0平春分点。很明显，这样定义的动力学参考系是与历元相关的。最新的动力学参考系的实现仍建立在FK5星表的基础上，相应的动力学参考系即J2000.0平赤道参考系，通常就称其为J2000.0平赤道坐标系。考虑到参考系的延续性，ICRS的坐标轴与FK5参考系在J2000.0历元需尽量地保持接近。ICRS的基本平面由VLBI观测确定，它的极与动力学参考系的极之间的偏差大约为20毫角秒。ICRS的参考系零点（零点的含义见下面第1.3.2小节）的选择也是任意的，为了实现ICRS和FK5的连接，选择了23颗射电源的平均赤经零点来作为ICRS的零点。ICRS和FK5动力学参考系的关系由三个参数决定，分别是天极的偏差ξ0和η0，以及经度零点差dα0，它们的值分别为：

于是ICRS和J2000.0平赤道坐标系的关系可以写为：

和是同一个矢量在不同参考系中的表示，其中常数矩阵B称为参考架偏差矩阵，由三个小角度旋转组成。

J2000.0平赤道坐标系，正是当今航天器（特别是地球卫星）轨道力学中普遍采用的一种地心天球参考系GCRS，如无特殊要求，上述参考架偏差就不再提及。

1.3.2　中间赤道及相应的三个基准点

为了更清楚地刻画天球参考系与地球参考系之间的联系，下面引进中间赤道的概念。天轴是地球自转轴的延长线，交天球于天极。由于进动运动，地球自转轴在天球参考系CRS中的指向随时间而变化，具有瞬时的性质，从而天极和天赤道也具有同样的性质。为了区别，IAU2003规范特称现在所说的这种具有瞬时性质的天极和天赤道为中间赤道和天球中间极CIP（Celestial Intermediate Pole）。

为了在天球参考系中进行度量，需要在中间赤道上选取一个相对于天球参考系没有转动的点作为零点，称其为天球中间零点CIO（Celestial Intermediate Origin）。同样地，为了在地球参考系中进行度量，需要在中间赤道上选取一个相对于地球参考系没有转动的点作为零点，叫作地球中间零点TIO（Terrestrial Intermediate Origin）。CIO是根据叫作天球参考架的一组类星体选定的，接近国际天球参考系的赤经零点（春分点），TIO则是根据叫作地球参考架的一组地面测站选定的，接近国际地球参考系的零经度方向或本初子午线方向（习惯称为格林尼治方向）。右图1.3所画圆周即表示地心参考系中的中间赤道，E为地球质心，γ为春分点。

在天球参考系中观察时，中间赤道与CIO固结，叫作天球中间赤道，TIO沿赤道逆时针方向运动，周期为1恒星日。反之，在地球参考系中观察时，中间赤道与TIO固结，叫作地球中间赤道，CIO以同样周期沿赤道顺时针方向运动。这两种观察所反映的都是地球绕轴自转的运动，CIO和TIO之间的夹角是地球自转角度的度量，叫作地球自转角ERA（Earth Rotating Angle）。

1.3.3　三个地心坐标系的定义

（1）地心天球坐标系O-xyz

此坐标系实为历元（J2000.0）地心天球坐标系，即前面提到的J2000.0平赤道参考系，简称地心天球坐标系。其坐标原点O是地心，xy坐标面是历元（J2000.0）时刻的平赤道面，x轴方向是该历元的平春分点，它是历元J2000.0的平赤道与该历元时刻的瞬时黄道的交点。这是一个在一定意义下（即消除了坐标轴因地球赤道面摆动引起的转动）的“不变”坐标系，它可以将不同时刻运动天体（如地球卫星）轨道放在同一个坐标系中来表达，便于比较和体现天体轨道的实际变化，已是国内外习惯采用的空间坐标系。注意，在该坐标中，地球非球形引力位是变化的。

（2）地固坐标系O-XYZ

该坐标系即地球参考系（Terrestrial Reference System—TRS），是一个跟随地球自转一起旋转的空间参考系，俗称地固坐标系。在这个坐标系中，与地球固体表面连接的测站的位置坐标几乎不随时间改变，仅仅由于构造或潮汐变形等地球物理效应而有很小的变化。

与ICRS要由ICRF具体实现一样，地球参考系也要由地球参考框架（TRF）实现。地球参考框架是一组在指定的附着于TRS（笛卡尔、地球物理、测绘等）坐标系中具有精密确定坐标的地面物理点。最早的地球参考框架是国际纬度局（International Latitude Service）根据1900—1905五年的观测提出的国际习用原点CIO（Conventional International Origin）定义了第三轴的指向，即原来的地球平均地极指向。该原点的缩写名称CIO已被现在的天球中间零点CIO所占用，不再采用这个缩写的国际习用原点称谓，请读者注意。

在上述定义下，地固坐标系的原点O是地心，XY坐标面接近1900.0平赤道面[2]，X轴指向接近参考平面与格林尼治子午面交线方向，即本初子午线方向，亦可称其为格林尼治子午线方向。各种地球引力场模型及其参考椭球体也都是在这种坐标系中确定的，它们应该是一个自洽系统。根据目前状况，如不加说明，本书所提及的地固坐标系均符合WGS（World Geodetic System）84系统。对于该系统，有

其中GE是地心引力常数，ae是参考椭球体的赤道半径，f是该参考椭球体的几何扁率。

在地固坐标系中，测站坐标矢量的三个直角坐标分量Xe，Ye，Ze与球坐标分量（H，λ，φ）之间的关系为

其中

ae是相应的参考椭球体的赤道半径，f是该参考椭球体的几何扁率。球坐标的三个分量（H，λ，φ）分别为测站的大地高、大地经度和大地纬度（亦称测地纬度），有

（3）地心黄道坐标系O-x′y′z′

该坐标系的原点O仍是地心，和日心黄道坐标系只是一个平移关系。x′y′坐标面是历元（J2000.0）时刻的黄道面，x′轴方向与上述天球坐标系O-xyz的指向一致，即该历元的平春分点方向。

1.3.4　地固坐标系O-XYZ与地心天球坐标系O-xyz之间的转换

1.3.4.1　转换（Ⅰ）——IAU1980规范下的转换关系

分别用和表示探测器在地心天球坐标系O-xyz和地固坐标系O-XYZ中的位置矢量。探测器的位置矢量在这两个坐标系之间的转换关系为

其中坐标转换矩阵（HG）包含了四个旋转矩阵，有

这里（PR）是岁差矩阵，（NR）是章动矩阵，（ER）是地球自转矩阵，（EP）是地球极移矩阵。它们分别由下列各式表达：

（1.31）式中的xp，yp是极移分量；（1.32）式中的格林尼治恒星时SG由下式计算：

这里的μ和Δμ是赤经岁差和章动，J2000.0系统中的格林尼治平恒星时由下式计算：

式中引数t是UT1时间，但计算其他天文量（岁差章动等）时，该引数t则为TDT时间。

（1.34）式中的岁差常数ζA，zA和θA的计算公式如下：

θA是赤纬岁差，相应的赤经岁差μ（或记作mA）为

（1.33）式中的ε是平黄赤交角。IAU（1980）章动序列给出的黄经章动Δψ和交角章动Δε的计算公式，包括振幅大于0″.0001的106项。考虑到一般问题涉及的轨道精度要求，只要取振幅大于0″.005的前20项（按大小排列）即可，由于是周期项（最快的是月球运动周期项），没有累积效应，故小于0″.005的项引起的误差只相当于地面定位误差为米级，对于时间而言的差别小于0s.001。取前20项的公式如下：

相应的赤经和赤纬章动Δμ和Δθ为

其中平黄赤交角的计算公式如下：

（1.40）式中涉及的与太阳和月球位置有关中的5个基本幅角αi（i＝1，…，5）的计算公式为

其中1r＝360°，章动序列前20项的有关系数见表1.2。如果按前面所说的米级精度考虑，公式（1.40）右端的A1j和B1j除表1.2中列出的A11和B11外亦可略去，但具体工作中的取项多少，不仅需要符合精度要求，还应考虑到相应软件的功能和适应性，如功能的扩张等因素。上述计算章动量的各式（1.40）～（1.43）中出现的t，即（1.37）式中所定义的世纪数T，但对应的是TDT时间。

上述内容中涉及的各旋转矩阵Rx（θ），Ry（θ），Rz（θ）的计算公式见（1.20）～（1.22）式。注意，旋转矩阵Rx（θ），…是正交矩阵，有。

1.3.4.2　转换（Ⅱ）——IAU2000规范下的转换关系

在IAU2000规范下，地心天球参考系（GCRS）到国际地球参考系（ITRS）的转换过程由下式表述：

其中［GCRS］和［ITRS］各对应前面IAU1980规范下的地心天球坐标系和地固坐标系。为了表达的连贯性，仍采用同一位置矢量在两个坐标系中的符号和来表达变换关系，即

M（t）是岁差、章动矩阵，R（t）是地球自转矩阵，W（t）是极移矩阵。

关于岁差、章动矩阵M（t），基于春分点的转换关系，岁差、章动矩阵可以写为：

其中N（t），P（t）和B分别为章动、岁差和参考架偏差矩阵，其中参考架偏差矩阵B已在前面有过说明，它是一个旋转量很小的常数矩阵，在直接引用J2000.0平赤道坐标系作为地心天球坐标系时，就作为单位阵略去，不再考虑，如有特殊需要，考虑它也极其简单，见（1.24）式。于是有

各矩阵的计算方法由下面分别给出。

（1）岁差、章动量的计算

在第24届国际天文联合会大会（2000年8月，Manchester）上通过决议，从2003年1月1日起正式采纳IAU2000岁差—章动模型取代IAU1976岁差模型和IAU1980章动理论。关于岁差章动的计算就是基于IAU2000模型，根据不同精度要求，又分为IAU2000A模型和IAU2000B模型，前者精度为0.2mas（毫角秒），后者的精度稍低，为1mas，下面对此作一简要介绍。

关于岁差量的计算，由标准历元J2000.0到计算历元，平赤道坐标系之间转换的三个赤道岁差参数ζA，zA，θA，由下式计算：

其中t是自标准历元J2000.0起算的计算历元（TT时刻）的儒略世纪数，即

关于章动量的计算，IAU2000模型的黄经章动Δψ和交角章动Δε的计算公式如下：

该式中t的意义同前，见（1.49）式，Δψp，Δεp是行星章动的长周期项，有

章动序列中的幅角αi同样表示成5个基本幅角的线性组合形式：

式中nik是整数，5个与太阳、月亮位置有关的基本幅角Fk由下式表达：

这5个与太阳、月球位置有关的基本幅角Fk（k＝1，…，5），分别为月球的平近点角、太阳的平近点角、月球的平升交点角距、日月平角距和月球轨道升交点平黄经。这5个基本幅角Fk（k＝1，…，5）就是前面IAU1980章动序列中出现的5个基本幅角αi（i＝1，…，5），见（1.43）式。

为了比较，对应IAU1980章动序列的前20项系数，同样列出IAU2000B章动模型前20项系数的主要部分于表1.3：

（2）岁差矩阵P（t）的计算

1）经典的三次旋转

其中各旋转角的计算公式见（1.48）式。

2）岁差矩阵P（t）的四次旋转

其中后三个旋转角的计算公式如下：

ε0的计算见（1.63）式。（1.60）式中t的意义同前，见（1.49）式。

（3）章动矩阵N（t）的计算

其中Δμ＝ΔψcosεA，Δθ＝ΔψsinεA是赤经和赤纬章动，Δψ是黄经章动，Δε是交角章动，εA为瞬时平赤道面与黄道面的交角，称为平黄赤交角，计算公式为

ε0即历元（J2000.0）平黄赤交角。

（4）地球自转矩阵R（t）的计算

这与IAU1980规范有差别，涉及时刻t的格林尼治恒星时SG的计算，前面已有介绍，IAU2000规范中格林尼治真恒星时GST与地球自转角ERA有严格区别（见图1.3）。在此前提下，矩阵R（t）的计算公式变为如下形式：

GMST，EE分别为格林尼治平恒星时和二分差（equation of the equinoxes），计算公式如下：

（1.65）式中的θ（UT1）即地球自转角ERA，它是世界时UT1的线性函数，计算公式为

其中d为自标准历元J2000.0起算的世界时儒略日数（对应UT1时刻），即

（1.66）式右端求和项的幅角和振幅列于下表1.4：

该表中的αk与（1.50）式中的αi同类型，涉及的基本幅角Fk（F，D，Ω），见（1.55）～（1.57）式。

与地球自转角不同，格林尼治真恒星时GST是从真春分点起量的，它与ERA的关系为

其中EO称为零点差，与岁差、章动在中间赤道上的分量有关。根据IAU 2006/2000A岁差-章动模型，零点差的表达式（包含在1975—2025年之间，所有大于0.5μas的项）为

其中t是从J2000.0起算的儒略世纪数，参数αk和振幅Ck见表1.4。

（5）极移矩阵W（t）的计算

其中xp，yp是天球中间极CIP在地球参考系ITRS中的两个极移分量，s′称为地球中间零点TIO的定位角，它提供TIO在CIP赤道上的位置，是xp，yp的函数：

s′（t）无法事先获得，但其量级很小，可以用下列线性公式作为其近似：

其中t的定义同前，即计算时刻距标准历元J2000.0的儒略世纪数。

1.3.5　IAU1980规范与IAU2000规范之间的对应关系

上述IAU2000新规范与IAU1980规范之间，除岁差章动等有关参数有较小差别外，地球坐标系与天球坐标系的定义与相关符号的采用也与在老规范前提下的习惯用法有所差别，下面厘清两者相关计算公式之间的对应关系。

在IAU2000规范中，天球参考系（celestial reference system——CRS）到地球参考系（terrestrial reference system——TRS）的转换关系为

其中M（t）是岁差、章动矩阵，R（t）是地球自转矩阵，W（t）是极移矩阵。而在IAU1980规范下的习惯用法，即记卫星在地球参考系和天球参考系的位置矢量分别为和，则上述转换关系（1.74）可类似地写成下列形式：

应有如下的对应关系：

根据上述比较不难看出，关于岁差（按三次旋转考虑）、章动和地球自转（两个规范的格林尼治恒星时SG稍有差异）三个相关矩阵，除相应的参数稍有微小差别外，转换过程和计算公式完全相同；唯有极移矩阵的表达形式有差别，按IAU2000规范，极移矩阵W（t）应由前面（1.71）式表达，即

除增加一个微小的转动矩阵Rz（s′）外，剩下两个转动矩阵Rx（-yp）Ry（-xp）却与上述（1.80）式的转动次序相反。但因为极移量xp，yp很小，这样的转动次序改变引起的差别应该比极移量更小，最终的转换（指地球参考系与天球参考系的转换）结果不会有明显差别，作者已通过实际算例得到证实。

不仅地球自转矩阵如此，IAU2000与IAU1980两个规范，在地球参考系与天球参考系的位置矢量与之间的完整转换中，亦无明显差别。如新老规范对章动序列均取到前20项，两个规范计算出的格林尼治恒星时与标准值（年历所载）之差都不超过0s.001，相应的位置量转换（包括IAU2000规范中的两种岁差矩阵的转换方法）之差都在米级以内。

1.3.6　关于地球赤道面摆动引起坐标系选择的复杂性问题

对人造地球卫星的轨道运动而言，必然涉及地固坐标系与地心天球坐标系，而地球赤道面的摆动，就导致在相关领域中给坐标系的选择带来一些麻烦甚至混乱。关于这一问题，将在后面第4章的第4.4.5小节中详细论述。

1.3.7　一些与卫星测量、姿态以及轨道误差表达有关的坐标系

对于卫星测量、姿态以及轨道误差的描述等，有其特定的要求，需要定义相应的空间坐标系。除此之外，还有卫星星下点（即卫星-地心的连线与地球表面的交点）位置的计算等，将涉及具体坐标系的定义和卫星轨道，故在后面第2章建立轨道概念后再具体介绍。