II

太奇怪了！如果我们浏览一下古人的著作，我们情不自禁地把他们统统归入直觉主义者之列。然而，人的本性总是相同的；要在本世纪开始创造出专注于逻辑的心智，这几乎是不可能的。假使我们使自己置身于古代几何学家所处时代的占统治地位的思潮中，那么我们会清楚地认识到，他们之中的许多人在倾向性上都是解析家。例如，欧几里得（Euclid）创造了科学结构，他的同代人没有从中挑出毛病。在这个庞大的建筑物中，它的每一个部件不管怎样都归因于直觉，可是我们今天依然可以毫不费力地从中辨认出一位逻辑主义者的工作。

变化的不是心智，而是观念；直觉心智依然是相同的；可是，他们的读者却要求他们做出较大的让步。

这种演变的原因是什么呢？原因是不难发现的。直觉不能给我们以严格性，甚或不能给我们以确定性；这一点愈来愈得到公认。让我们举一些例子。我们知道，存在着没有导数的连续函数。没有什么东西比逻辑给予我们的命题更让直觉震惊了。我们的祖先不假思索地断言：“每一个连续函数都有导数，这是很明白的，因为每一条曲线都有切线。”

直觉怎样能够在这一点上欺骗我们呢？正因为当我们试图想象曲线时，我们无法把它描绘得没有宽度；正是这样，当我们描绘直线时，我们在直线的形式下把它看成某一宽度的直带。我们清楚地认识到，这些线没有宽度；我们力求把它们想象得越来越窄，从而趋近极限；我们在一定的限度内这样做，但是我们从来也不会达到这一极限。于是，很显然，我们总是可以把这两条窄带——一条直的、一条曲的——画在这样的位置上，使得它们轻微地相犯而不相交。若不管严密的解析，从而我们将得出结论：曲线总是有切线。

我愿把狄利克雷（Dirichlet）原理作为第二个例子，如此众多的数学物理学定理都建立在该原理上；今天，我们通过十分严格、十分冗长的推理确立它；相反，在此之前，我们却满足于概括的证明。与一任意函数相关的某一积分永远不为零。人们由此断定，它必定有极小值。这一推理中的缺点直接冲击着我们，因为我们使用了抽象的术语——函数，因为我们熟悉，当在最普遍的意义上理解这个词时，函数能够呈现出的所有特异性。

但是，如果我们利用具体的图像，例如我们把这个函数看做是电势，情况就不同了；可以认为，断言能够达到静电平衡是合理的。然而，物理比较也许能唤起一些模糊的怀疑。但是，如果谨慎地把推论翻译成几何学的语言，即介于分析语言和物理学语言之间的语言，那么毫无疑问，这种怀疑便不会产生，这样一来，人们即使在今天还能欺骗许多没有预先告诫的读者。

因此，直觉没有给我们以确定性。这就是演变为什么必然发生；现在，让我看看它是如何产生的。

人们将立即注意到，除非严格性先进入定义中，否则就无法在推论中引入严格性。因为数学家所处理的大部分对象长期以来都没有恰当定义；他们假定它们是已知的，由于他们借助于感觉和想象来描述它们；但是，人们仅有它们的粗糙图像，而没有一个推理能够赖以成立的精确观念。因此，逻辑主义者必须首先在这里付出他们的努力。

在不可通约数的情况中就是这样。我们归因于直觉的连续性的模糊观念本身分解为关于整数的不等式的复杂系统。

借助于这种方法，由通过极限或考虑到无限小而引起的困难终于被消除了。今天，在解析中，仅仅剩下整数，或者说，整数的有限或无限的系统被相等或不等关系的网格约束在一起。正如数学家所说，数学被算术化了。