第一编 数学科学

第一章 数学中的直觉和逻辑

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研究一下伟大数学家或一般数学家的著作，人们不能不注意到和区分出两种相反的趋势，或者毋宁说是两种截然不同的心智类型。一些人尤其专注于逻辑；读读他们的著作，人们被诱使相信，他们效法沃邦 ^[1] ，对准被包围之地挖壕掘沟，步步进逼，没有给机遇留下任何余地。另一些人受直觉指引，他们像勇敢的前卫骑兵，迅猛出击，但有时也要冒几分风险。

并非所处理的问题迫使他们采取这种或那种方法。虽然人们往往称前者为解析家，称后者为几何学家；但是这并不妨碍第一种人依然是解析家，即使当他们研究几何学的时候；而另一种人还是几何学家，即使当他们从事纯粹解析的时候。正是他们的心智的本性，使他们成为逻辑主义者和直觉主义者，当他们探究新课题时，他们也不能把它撇到一边。

在数学家中间，并非教育能助长一种趋势而抑制另一种趋势。数学家是天生的，不是人为的，他似乎生来就是几何学家或解析家。我乐于引证一些例子，这样的例子实在太多了；但是，为了强调对照，我愿以一个极端的例子开始，请允许我冒昧地在两个活着的数学家中寻找例证吧。

梅雷（Méray）先生想证明，二项式方程总是有根，或者用通俗的话说，角总是可以剖分。如果存在任何用直接的直觉可以感受的真理，那么它就是这样的真理。谁会怀疑一个角总是可以分为任意等分呢？梅雷先生却不如是观；在他看来，这个命题根本不是明白的，他需要几页篇幅证明它。

另一方面，看看克莱因（Klein）教授，他正在研究函数论的一个最抽象的问题：确定在给定的黎曼（Riemann）曲面上，是否总是存在具有已知特性的函数。这位著名的德国几何学家做了些什么呢？他用电导率按某些规律变化的金属面代替他的黎曼曲面。他把金属面上的两个点与电池的两极联接起来。他说，电流必定通过金属面，电流在面上的分布将确定一个函数，该函数的特性恰恰就是说明所要求的特性。

毋庸置疑，克莱因教授完全了解，他在这里提供的仅是一个梗概；不过，他还是毫不犹豫地发表了它；他恐怕认为，他从中发现，即使这不是严格的证明，但至少在内心上是可靠的。逻辑主义者极端厌恶地排斥这种概念的形成，或者更确切地讲，他不可能排斥它，因为在他的思想中从来也没有产生过这种概念。

请容许我再比较两个人，他们俩是法国科学的光荣，最近去世了，可是他们的业绩早就永垂不朽。我讲的是贝特朗（Bertrand）先生和埃尔米特（Hermite）先生。他们同时在同一学校上学；他们受相同的教育，处于同样的影响之下；可是差别却何等之大！这不仅在他们的著作中显现出来，而且在他们的教学、谈吐方式，甚至在他们的外表中都有所表现。这两个人的风采在他们所有学生的脑海里铭刻下永不磨灭的印记；对于那些乐于聆听他们的教导的人来说，这种记忆依然历历在目；我们很容易唤起它。

贝特朗在讲演时总是动来动去；他时而仿佛与某些外来之敌战斗，时而用手势描绘他所研究的图形的轮廓。显然，他想象着，并试图去描绘它，这就是他为什么要借助于手势。而埃尔米特则迥然不同；他的双眼似乎避免与世界接触；他寻求真理的妙诀不在心外，而在心内。

在本世纪的德国几何学家中间，有两个人尤其遐迩闻名，这两位科学家奠定了广义函数论，他们是维尔斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼。维尔斯特拉斯把一切都归结为考虑级数及其解析变换；为了更好地表示，他把解析化为类似于算术的拓展；翻阅他的全部著作，你找不到一张插图。相反地，黎曼却立即求助于几何学；他的每一个概念都是一幅图像，人们一旦把握了它的意义，便会永志不忘。

其后，李（Lie）是一位直觉主义者；读其著述，顿生疑团，经他道破之后，人们便涣然冰释；你同时看到，他用图形思维。而科瓦列夫斯基夫人（Madame Kovalevski）则是一位逻辑主义者。

在我们的学生中间，我们也注意到同样的差别；一些人更喜欢“用解析”处理他们的问题，另一些人则“用几何学”。前者不能“在空间中想象”，后者则十分厌倦冗长的计算，很快就变得晕头转向。

对于科学的进步来说，这两类心智同样是必要的；逻辑主义者和直觉主义者都获得了其他人没有作出的巨大成就。谁胆敢冒昧地说，他宁愿维尔斯特拉斯永远不著书立说，或者宁愿世上从来就没有黎曼这个人呢？而且，分析和综合二者都有其合情合理的作用。比较周密地研究一下它们在科学史中各司其职，是饶有兴味的。