命题IV 定理IV

诸物体以相等的运动画出不同的圆，向心力趋向那些圆的中心；且相互之间如同在同一时间所画出的弧的平方除以圆的半径。

由命题II和命题I的系理2这些力趋向圆的中心，且由命题I的系理4它们彼此之间如同在极短的相等的时间内所画出的弧的正矢^（11）（sinus versus），亦即，由引理VII如同那些弧的平方除以圆的直径；且所以，由于这些弧如同在任意的相等时间所画出的弧，且直径如同它们的半径，力如同在同一时间画出的任意弧的平方除以圆的半径。此即所证。

系理1 因为那些弧如同物体的速度，向心力按照来自速度的二次正比和半径的简单反比的复合比。

系理2 又，因为循环时间按照来自半径的正比和速度的反比的复合比；向心力按照来自半径的正比和循环时间的二次反比的复合比。

系理3 因此，如果循环时间相等，则速度如同半径；向心力亦如同半径：且反之亦然。

系理4 且如果循环时间和速度都按照半径的二分之一次比；则向心力彼此相等：且反之亦然。

系理5 如果循环时间如同与半径，且所以速度相等；向心力与半径成反比：且反之亦然。

系理6 如果循环时间按照半径的二分之三次比，且所以速度按照半径的二分之一次反比；向心力与半径的平方成反比：且反之亦然。

系理7 一般地，如果循环时间如同半径R的任意次幂Rⁿ，且所以速度与半径的幂R^n-1成反比；向心力与半径的幂R^2n-1成反比：且反之亦然。

系理8 当物体画出任意相似图形的相似部分，且［力的］中心在那些图形有相似的排列时，所有关于时间、速度和力的结论是同样的。这由前面的证明用于目前的情形得出。应用时由相等的面积代替相等的运动，物体离中心的距离代替所说的半径。

系理9 由同样的证明亦得出：弧，它由一个物体以给定的向心力均匀地在一圆上运行时在任意的时间画出，是圆的直径和同一个物体由同一给定的力，在相同的时间所完成的下落之间的比例中项。

系理6的情形对于天体成立（正如我国的雷恩、胡克和哈雷分别发现的）。所以针对按照离中心的距离的二次比减小的向心力，我准备在下面详细讨论。

而且得益于目前的命题及其系理，向心力比其他任意已知力，如重力的比例，可被断定。因为如果一个物体由自身的重力沿与地球同心的圆运行，此重力就是向心力。由这个命题的系理9，从重物的下落，物体运行一周的时间被给定，且它画出任意弧的时间亦被给定。又，按这种类型的命题，惠更斯在他卓越的专著《论摆钟》（de Horologio Oscillatorio）中把重力与环绕物体的离心力（vis contrifuga）一同做了比较。

当前这个命题亦能按如下方式证明。在任意圆内，想象任意边数的多边形被画出。且如果［物体］以给定速度沿多边形的边运动，并在每个角被圆反射，每次反射时撞击圆的力，如同其速度，因此在给定时间内的力之和如同那个速度和反射次数的联合；此即（如果多边形的种类被给定）如同在那段给定的时间所画出的长度，且按照同一长度比前面所说的圆的半径之比增大或减小；亦即，如同那个长度的平方除以半径。由是，如果多边形的边无限减小并与圆重合，如同在给定的时间所画出的弧的平方除以半径。这是离心力，由它物体推动圆；且相反的力等于这个力，由它圆持续把物体推向中心。