引理 XVIII

对同样的假设，如果向不规则四边形两对边所引［的直线］的矩形PQ×PR比向另两对边所引［的直线］的矩形PS×PT按照给定的比；点P，直线从它而引，位于围绕不规则四边形所画出的圆锥截线上。

设想经过点A，B，C，D和无穷多点P中的某一个，设为点p，画一圆锥截线：我说点P总位于这一截线上。如果你否认，连结AP截这条圆锥截线于另一点，如果可能的话，设为点b。所以，如果由这些点p和b以给定的角向不规则四边形的边引直线pq，pr，ps，pt和bk，bn，bf，bd；则bk×bn比bf×bd（由引理XVII）如同pq×pr比ps×pt，且如同（由假设）PQ×PR比PS×PT。且由于不规则四边形bkAf，PQAS相似，bk比bf如同PQ比PS。因此，前面比例的项除以这一比例的对应项，得bn比bd如同PR比PT。所以，等角不规则四边形Dnbd，DRPT相似，因此它们的对角线Db，DP重合。于是b落在直线AP，DP的相交部分，因而与P重合。所以，点P，无论怎样取，总落在指定的圆锥截线上。此即所证。

系理 因此，如果三条直线PQ，PR，PS由一个公共的点P以给定的角引向相同数目的位置给定的直线AB，CD，AC，一条直线对一条直线，且如果所引的两条直线之下的矩形PQ×PR比第三条直线PS的正方形^（18）（quadratum）按照给定的比：点P，直线从它而引，位于一条圆锥截线上，它与直线AB，CD在A和C相切；且反之亦然。因为直线BD与直线AC重合时，三条直线AB，CD，AC保持位置；然后直线PT与直线PS也重合：矩形PS×PT变成PS_quad.；又，直线AB，CD，它们先前与曲线截于A和B，C和D，现在由于那些点重合曲线不能再与它们相截，而只是相切。

在这一引理中，圆锥截线的名称在更广的意义上被使用，在此情况下不但包括经过圆锥顶点的直线形截线，而且包括平行于底的圆形截线。因为，如果点p落在一条直线上，由它点A和D或者C和B被连结，圆锥截线变为一对直线，其中之一是那条直线，点p落在其上，另一是一条直线，四点中另外两点被它连结。如果不规则四边形的两对角合在一起等于两个直角，且引向其边的四条直线PQ，PR，PS，PT或者与边垂直，或者与边成任意相等的角，且所引的两直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR等于所引的另两直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，圆锥截线变成圆。同样的事情会发生，如果以任意角引四条直线，且所引的两直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比另两直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，如同引后面的两直线PS，PT的角S，T的正弦之下的矩形，比引前面的两直线PQ，PR的角Q，R的正弦之下的矩形。在其余的情形点P的轨迹是其他三种图形，它们通常被称为圆锥截线。但可用其两对边如对角线那样相互交叉的四边形代替不规则四边形ABCD。然而四个点A，B，C，D中的一个或两个点可跑到无穷远处，图形的汇聚到这些点的边变为平行：在这种情形圆锥截线经过其他的点，并如平行线那样远离以至无穷。