引理 XIX
求点P，如果由它向数目相同的，位置给定的直线AB，CD，AC，BD以给定的角引四条直线PQ，PR，PS，PT，一条直线对一条直线，所引的二条直线［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比所引的另外两条直线［PS，PT］之下的矩形PS×PT，按照给定的比。
设直线AB，CD，往它们所引的两直线PQ，PR包含矩形中的一个，与其他位置给定的两条直线交于A，B，C，D。从它们之中的A作任意直线AH，你期望在其上找到点P。它截相对的直线BD，CD，即截BD于H且截CD于I，又因图形的所有角被给定，PQ比PA和PA比PS之比被给定，因此PQ比PS之比亦被给定。从给定的比PQ×PR比PS×PT中移去这个比，PR比PT之比被给定，又添加上给定的比PI比PR和PT比PH，PI比PH之比被给定，因此点P亦被给定。此即所求。
系理1 因此向无穷多个P点的轨迹上的任意点D可引切线。因为弦PD，当点P和D相遇时，这就是，当所引的AH经过D时，成为切线。在这种情形，正消失的线IP和PH的最终比如上被发现。所以引平行于AD的CF交BD于F，它以最终比截于E，则DE为切线，因为CF和正消失的IH平行，且相似地截于E和P。
系理2 因此，也能确定所有点P的轨迹。经任意点A，B，C，D，设为A，引轨迹的切线AE，又过另外任意一点B引平行于切线的BF交轨迹于F。由引理XIX发现点F。BF平分于G，所作的不定直线AG在直径的位置上，BG和GF为附属于它的纵标线。这个AG交轨迹于H，则AH是直径或者横截径（19）（latus transversum），通径比它如同BGq比AG×GH。若AG不与轨迹相交，直线AH无限延伸，轨迹为抛物线，其对应于直径AG的通径为（BGq）/（AG）。如果它与轨迹交于某处，当点A和H在G的同侧时，轨迹为双曲线；当G在中间时，为椭圆，除非角AGB为直角，并且BGquad.等于矩形AGH，在这种情况下轨迹为圆。
如是关于四线的古老问题，由欧几里得开始，并经过阿波罗尼奥斯继续，不用计算，而用几何作图，在本系理中所显示的，正如古人的要求。