二、归纳总结
在本章中，有很多概率论中的基本概念，读者应重点理解这些概念和术语．
1. 随机事件及其运算
随机试验如下．
（1）在相同的条件下试验可以重复进行．
（2）每次试验的结果不止一种，但是试验之前必须明确试验的所有可能的结果．
（3）每次试验将会出现什么样的结果是事先无法预知的．
样本点：随机试验中每一个可能的结果都是一个样本点，记为ω．
样本空间：随机试验所有的样本点组成的集合，记为Ω．
随机事件：一个随机试验样本空间的子集．即随机事件是由部分样本点组成的集合．从直观来说，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．
基本事件：仅含一个样本点的随机事件．
两个特殊事件如下．
（1）不可能事件Ø：由于Ø中不包含任何元素，所以Ø在每一次试验中一定不发生．
（2）必然事件Ω：由于Ω包含所有可能试验结果，所以Ω在每一次试验中一定发生．
随机事件的关系与运算如下．
（1）A⊂B：A发生必然导致B发生或称A与B互斥．
（2）A=B：A与B同时发生．
（3）AB=Ø：A与B不可能同时发生．
（4）A∪B：A与B至少有一个发生．
（5）A∩B（或AB）：A与B都发生．
（6）A-B：A发生并且B不发生．
（7）
不发生．
注 关于随机事件的关系与运算，借助集合的“Venn图”能更直观地帮助理解．
随机事件的运算性质如下．
（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A．
（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）．
（3）分配律：（A∪B）∩C=AC∪BC，（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）．
（4）对偶律：
2. 概率的定义及其性质
事件发生的频率：n次试验中事件A出现了nA次，则称比值
为这n次试验中事件A出现的频率，记为
．nA称为事件A发生的频数．
概率的公理化定义：设任一随机试验E，Ω为相应的样本空间，若对任意事件A，有唯一实数P（A）与之对应，且满足下面条件，则数P（A）称为事件A的概率：
（1）（非负性公理）对于任意事件A，总有P（A）≥0；
（2）（规范性公理）P（Ω）=1；
（3）（可列可加性公理）若A1，A2，…，An，…为两两互不相容的事件，则有
概率的性质如下．
（1）P（Ø）=0．
（2）（有限可加性）设A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则有
（3）对任意事件A，有
（4）若事件A⊂B，则
（5）（减法公式）设A，B为任意事件，则P（A-B）=P（A）-P（AB）．
（6）（加法公式）设A，B为任意事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）．
3. 等可能概型
古典概型：
（1）随机试验的样本空间只有有限个样本点；
（2）每个基本事件发生的可能性相等．事件A的概率为
几何概型：
（1）随机试验的样本空间Ω是某个区域（可以是一维区间、二维平面区域或三维空间区域）；
（2）每个样本点发生的可能性相等．事件A的概率为
其中，m(·)在一维情况下表示长度，在二维情况下表示面积，在三维情况下表示体积．
4. 条件概率与事件的相互独立性
条件概率：
为在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P（B｜A）．其中P（A）＞0．
概率的乘法公式：设A，B为随机试验E上的两个事件，且P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）P（B｜A）．类似可得，P(AB)=P(B)P(A｜B)．
事件的相互独立性：无论A是否发生，都不影响事件B发生的概率．如A，B独立，有P（AB）=P（A）P（B）．
事件A，B，C两两独立：设A，B，C是试验E的3个事件，满足等式
P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C）．
事件A，B，C相互独立：设A，B，C是试验E的3个事件，满足等式：
P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），
P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C）．
事件A1，A2，…，An两两独立：设A1，A2，…，An是试验E的n（n≥2）个事件，其中任意两个事件的积事件的概率等于各事件概率的积．
事件A1，A2，…，An相互独立：其中任意两个事件，任意3个事件，……，任意n个事件的积事件的概率等于各事件概率的积．
5. 全概率公式与贝叶斯公式
完备事件组：设E是随机试验，Ω是相应的样本空间，A1，A2，…，An为E的一组事件，若满足条件：
（1）Ai∩Aj=Ø（i≠j）；
（2）A1∪A2∪…∪An=Ω．则称事件组A1，A2，…，An为样本空间的一个完备事件组．
全概率公式：设A1，A2，…，An为完备事件组，且P（Ai）＞0（i=1，2，…，n），B为任一事件，则
贝叶斯公式：设A1，A2，…，An为完备事件组，P（Ai）＞0（i=1，2，…，n），B为满足条件P(B)＞0的任一事件，则
