三、典型例题

例1　【单选题】对于任意事件A和B，若P（AB）=0，则（　）．

解　互不相容的事件和概率为0的事件不是同一个概念．若已知AB=Ø，则可得P（AB）=0．但反之是不一定成立的．可以参见教材第一章第三节例4的分析．因此选项B不正确．

由减法公式可知，所以，正确答案为D．

例2　（考研真题　2006年数学一第13题）【单选题】设A，B为随机事件，且P（B）＞0，P（A｜B）=1，则必有（　）．

A. P（A∪B）＞P（A）

B. P（A∪B）＞P（B）

C. P（A∪B）=P（A）

D. P（A∪B）=P（B）

解　由加法公式得P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），由概率的乘法公式得P（AB）=P（B）P（A｜B）=P（B），所以P（A∪B）=P（A），即答案C正确．

例3　（考研真题　2009年数学三第7题）【单选题】设事件A与事件B互不相容，则（　）．

解　由事件A与事件B互不相容可知P（AB）=0，由对偶律可得，即正确答案为D．

例4　（考研真题　2015年数学一第7题）【单选题】若A，B为任意两个随机事件，则（　）．

解　由于AB⊂A，AB⊂B，按概率的性质有P（AB）≤P（A）且P（AB）≤P（B），因此，故正确答案为C．

例5　（考研真题　1991年数学四第二（5）题）【单选题】设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（　）．

A. 与互不相容

B. 与互容

C. P（AB）=P（A）P（B）

D. P（A-B）=P（A）

解　由已知条件A和B互不相容可知P（AB）=0，所以P（A-B）=P（A）-P（AB）=P（A），所以正确答案为D．

另外由事件的运算性质对偶律可得，虽然A与B互不相容，并不能保证A∪B=Ω，由A，B的任意性，知选项A，B错．

C的条件是相互独立，所以C错．请注意区分相互独立与互不相容．

例6　在5双不同的鞋子中任取4只，则这4只鞋子中至少有2只鞋子配成1对的概率是多少?

解　这是一个古典概型问题．

设A=“所取的4只鞋子中至少有2只鞋子配成1对”，则=“所取的4只鞋子中，没有2只能配成1对”．

首先，在10只鞋子中随机取4只，因此样本点总数．又可表现为先从5双中取4双，再从每双中各取1只，因此事件的样本点个数，从而．

注1　古典概型的解题关键是计算样本空间的样本点总数n和随机事件A的样本点个数nA．因此，应该先分析完成随机试验和随机事件的先后步骤，并正确计算每个步骤的结果数．在计数过程中恰当地使用“排列”或“组合”．

注2　当求解一个较复杂的事件概率时，常常考虑求它的逆事件，可以简化问题求解．

例7　将红、黑、白3个球放置到4个不同的盒子中去（设盒子足够大，可以容纳所有的球），求下列事件的概率：

（1）3个球都在某一指定的盒子里；

（2）3个球都在某一盒子里；

（3）指定的3个盒子里各有1个球；

（4）3个球在不同的3个盒子里．

解　这是一个古典概型问题．

首先，将3个球放入4个盒子，因此样本点总数n=43=64．

（1）设A=“3个球都在某一指定的盒子里”，则；

（2）设B=“3个球都在某一盒子里”，B与A的区别在于：A中盒子已经事先确定了，而B中盒子没有事先确定，因此B比A多了选盒子的过程，事件B的样本点个数．所以；

（3）设C=“指定的3个盒子里各有1个球”，将不同颜色的球放入指定的3个盒子，事件C的样本点个数．所以；

（4）设D=“3个球在不同的3个盒子里”，D与C的区别在于：D比C多了选盒子的过程，事件D的样本点个数．所以．

例8　（考研真题　1991年数学一第十（2）题）随机地向半圆（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何地方的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为__________．

解　这是一个几何概型问题．

如图1.1所示，随机点与坐标原点的连线与x轴正向夹角不超过，当且仅当点落在由曲线，y=x，y=0所围成的一个扇形区域D内，其面积为四分之一圆面积与一个三角形面积之和，再记事件A={原点和掷点的连线与x轴的夹角小于}，则

注　几何概型的解题关键是将样本空间和随机事件正确地用几何图形来表述．

例9　（考研真题　2012年数学三第14题）设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，，求．

解　方法一　由条件概率公式知

其中，，由已知条件A与C互不相容，可知P（ABC）=0，又，综上计算可得

方法二　因A与C互不相容，所以AB与C互不相容，即，如图1.2所示．

因此有，又，由条件概率公式有

例10　（考研真题　2017年数学一第7题）【单选题】设A，B为任意两个随机事件，若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则的充分必要条件是（　）．

解　由条件概率公式知

若已知，则可得

P（AB）-P（B）P（A）＞0，

而

故正确答案为A．

例11　（考研真题　2016年数学三第14题）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到3种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为__________．

解　设事件A=“直到3种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4次”，不妨定义事件B=“前3次取球中红色出现2次，白色出现1次，或白色出现2次，红色出现1次”，．事件C=“第4次取球取到黑色”，显然，则事件BC表示事件A中的一种情况，且由于是有放回地取球，因此事件B与事件C相互独立，．类似地，事件A还可以有另外两种情况，即第4次出现的颜色是红色或白色，所以共有3种不同的情况，因此．

例12　（考研真题　2014年数学一第7题）【单选题】设事件A，B相互独立，P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则P（B-A）=（　）．

A. 0.1

B. 0.2

C. 0.3

D. 0.4

解　由减法公式和事件的独立性定义可得

P（A-B）=0.3=P（A）-P（AB）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）-0.5P（A）=0.5P（A）．

所以P（A）=0.6，P（B-A）=P（B）-P（AB）=0.5-0.5P（A）=0.2．故正确答案为B．

例13　【单选题】对于任意事件A和B，有（　）．

A. 若AB≠Ø，则A，B一定独立

B. 若AB≠Ø，则A，B有可能独立

C. 若AB=Ø，则A，B一定独立

D．若AB=Ø，则A，B一定不独立

解　注意A与B独立的条件是P（AB）=P（A）P（B），是一个关于事件概率的性质．而AB=Ø是指A与B互不相容，是事件本身的性质，与概率性质无关，两者是两个不同的概念，之间无必然关系，因此正确答案为B．

例14　（考研真题　2018年数学一第14题）设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=Ø，，求P（C）．

解　这是一道综合性的考试真题，涉及事件的性质、事件的互斥与独立的定义和条件概率的求解．

由条件概率公式知

由事件的运算性质分配律可知AC∩（AB∪C）=ABC∪AC=AC，由A与C相互独立可知P（AC）=P（A）P（C）．

由BC=Ø可知AB与C互不相容，所以P（AB∪C）=P（AB）+P（C），由A与B相互独立可知P（AB）=P（A）P（B），即

经计算可得．

例15　（考研真题　1999年数学一第一（5）题）设两两独立的事件A，B和C满足条件：ABC=Ø，，且已知，求P（A）．

解　这是一道综合性的考试真题，涉及事件的两两独立定义和并事件的概率求解．

因A，B，C两两独立，则P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），又P（A）=P（B）=P（C），则P（AB）=P（AC）=P（BC）=［P（A）］2，所以

解此方程得，再由已知条件，得．

例16　（考研真题　2017年数学三第7题）【单选题】设A，B，C是3个随机事件，且A，C相互独立，B，C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是（　）．

A. A，B相互独立

B. A，B互不相容

C. AB，C相互独立

D. AB，C互不相容

解　这是一道综合性的考试真题，涉及事件的性质，概率的性质和独立性的定义等．

首先，由事件的运算性质分配律可知

（A∪B）C=AC∪AB，

由概率的加法公式可展开为

P（（A∪B）C）=P（AC∪AB）=P（AC）+P（BC）-P（ABC）．

又因A，C相互独立，所以

P（AC）=P（A）P（C）；

B，C相互独立，所以

P（BC）=P（B）P（C）．

因此，可得P((A∪B)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC)．另一方面，P（A∪B）P（C）=（P（A）+P（B）-P（AB））P（C）=P（A）P（C）+P（B）P（C）-P（AB）P（C）．

显然，A∪B与C相互独立的充分必要条件是P（ABC）=P（AB）P（C），故正确答案为C．

例17　（考研真题　1996年数学一第十（1）题）设工厂A和工厂B的次品率分别是1%和2%．现从A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是由A厂生产的概率．

解　这是一个贝叶斯问题．设A1表示“抽到的产品是由A厂生产的”，B1表示“抽到的是次品”，则

由全概率公式有

再由贝叶斯公式有

即该次品是由A厂生产的概率为．