1.3 随机事件的概率

（一）概率的统计定义

如何定量表示事件在一次试验中发生的可能性大小？我们首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出定量表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。

1. 频率定义

设A为E中某一事件，在相同条件下进行了n次独立重复试验，事件A发生的次数记为nA，则比值

fn（A）=nA/n

称为A的频率。

2. 频率性质

（1）0≤fn（A）≤1

（2）fn（S）=1

（3）若A1,A2,…,Ak两两互不相容（?i≠j,AiAj=?），则

fn（A1∪A2∪…∪Ak）=fn（A1）+fn（A2）+…+fn（Ak）

下面观察试验次数增大时频率的变化。

历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如表1-1所示。

表1-1　掷硬币试验结果

试验者    次数    正面的次数    正面的频率

蒲丰    4040    2048    0.5069

皮尔逊    12000    6019    0.5016

皮尔逊    24000    12012    0.5005

结论　当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。

这种观察出来的性质称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，频率的稳定值即概率，事件A的概率记为P（A）。

由频率的性质可以得到概率具有以下性质。

（1）非负性：P（A）≥0；

（2）规范性：P（S）=1；

（3）有限可加性：

若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则

（二）概率的古典定义

当试验具有以下两个特点：

（1）试验的样本空间只包含有限个元素；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。

则称这种试验为等可能概型。它在概率论发展的初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。

下面讨论等可能概型中事件概率的计算公式。

设试验的样本空间为S={e1,e2,…,en}。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有

P（{e1}）=P（{e2}）=…=P（{en}）

又由于基本事件是两两互不相容的。于是

若事件A包含k个基本事件，即这里i1,i2,…,ik是1,2,…,n中k个不同的数。则有

上式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式。

1. 古典概率的计算方法

（1）直接用定义式计算

构造A和S的样本点，当样本空间S的元素较少时，先一一列出S和A中的元素，直接利用下式求解。

（2）用排列组合方法计算

当A和S的样本点个数较复杂时，往往要用到计数法原理和排列组合公式计算。

① 加法原理：完成一项工作有m类方法，第i类方法有ni种（i=1,2,…,m），则完成这项工作共有n1+n2+…+nm种方法。

② 乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有ni种方法（i=1,2,…,m），则完成该项工作共有n1n2…nm种方法。

③ 排列数：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素中取出r个元素的排列（n，r均为整数）。有以下两种情况。

第一种情况，无放回选取。从n个不同元素中无放回地取出m个（m≤n）进行排列，共有

种方法。当m=n时

这叫作全排列。

第二种情况，有放回选取。从n个不同元素中有放回地抽取r个，依次排成一列，称为可重复排列，共有nr种方法。

④ 组合数：从n个元素中无放回地取出r个元素，不考虑其顺序，组合数为

2. 例题

例1　在1,2,3,…,9中重复地任取n（≥2）个数，求n个数字的乘积被10整除的概率。

解　根据题意可得

nS=9n

设A表示事件“n次取到的数字的乘积能被10整除”，A1表示事件“n次取到的数字中有偶数”，A2表示事件“n次取到的数字中有5”，显然有

例2　盒中有5个红球，6个白球，7个蓝球，从中任取5个，求每种颜色的球至少有一个的概率。

解　用A,B,C分别表示无红球、白球、蓝球三个事件，则所求概率为1-P（A∪B∪C）。

由加法公式得

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

而

将这些概率值代入上两式即可得到所求概率。

例3　（分房问题）将r个球随机地放入n（n>r）个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，求每个盒子至多有一个球的概率。

解　将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件，共有nr种放法，而每个盒子至多有一个球的放法就是从n个盒子中取r个盒子的排列数，即所以，所求概率为

（三）几何概率

当试验具有以下两个特点：

（1）E的样本空间有无穷多个样本点，可用一个有度量的几何区域来表示；

（2）试验中每个样本点出现的可能性相同，即样本点落入某区域内可能性的大小，仅与该区域的度量成比例，而与该区域的位置和形状无关，则称E为几何概型。

事件A对应的区域仍以A表示，即

例4　从区间（0,1）中任取两个数，求两数之积小于的概率。

解　如图1-7所示，设所取的两个数分别为X,Y，则

0<X<1,0<Y<1

则（X,Y）等可能地落入正方形

0<x<1,0<y<1

所以，所求概率为

例5　（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20 min，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。

解　这是一个几何概率问题。如图1-8所示，以x，y分别表示两人到达时刻，则二人到达时刻所有可能的结果可用图1-8所示的边长为60的正方形里的所有点表示。能会面的充要条件是

|x-y|≤20

能会面的点的区域用阴影标出，则所求概率可用阴影图形的面积与正方形的面积之比求出。

（四）概率的性质

1. 概率的性质

性质1　P（?）=0

性质2　（有限可加性）若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则有

P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）

称为概率的有限可加性。

性质3　设A,B是两个事件，有

P（A-B）=P（A）-P（AB）

若A?B，则有

P（B-A）=P（B）-P（A）；P（B）≥P（A）

性质4　对于任意事件A，P（A）≤1。

性质5　（逆事件的概率）对于任一事件A，有

性质6　（加法公式）对于任意两事件A,B，有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

2. 用概率性质求概率

例6　已知AB=?，P（A）=0.6，P（A∪B）=0.8，求B的对立事件的概率。

解　由P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B），得

例7　已知P（A）=0.4，P（B）=0.3，P（A∪B）=0.6，求P（A-B）。

解　因为P（A-B）=P（A）-P（AB），所以先求P（AB）。

由加法公式得P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.4+0.3-0.6=0.1

所以，P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.3。