1.2 随机事件及其运算

（一）随机试验与随机事件

我们遇到过各种试验。这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语。它包括施以操作条件再观察的实验，也包括自然条件下的单纯观察。在概率论中，我们将对随机现象进行观察的实验称为随机试验。

随机试验具有以下特点：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；

（3）在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。

对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的。我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为?或S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记为e。下面举两个例子。

随机掷三枚硬币，观察其出现数字面（H）还是国徽面（T）。

S={HHT, HHH, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

明年夏天的最高气温t。

S={t|t≥0}

注意　样本空间的元素是由试验目的所决定的。如下。

（1）观察正反面出现的情况，S1={HHH, HHT,}

（2）观察正面（数字面）出现的次数，S1={0,1,2,3}

在实际中，当进行随机试验时，人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合。一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件，一般记为A,B,C等。例如，抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数之和。

S={（1,1）,（1,2）,（1,3）,…,（6,1）,…,（6,6）}

设A表示事件“点数之和为7”，即

A={（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）}

在每次试验中，当且仅当子集的一个样本点出现时，称这一事件发生。

特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

样本空间S包含所有的样本点，它是自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S成为必然事件。所以，必然事件一般也记为?或S。空集?不包含任何样本点，它也是样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，?称为不可能事件。

（二）事件的关系及其运算

事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合运算处理。下面给出这些关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的含义。

设试验E的样本空间为S，而A,B是S的子集。

1. 包含、相等关系

（1）包含

若A?B，则称事件B包含事件A。如图1-1所示。即

?x∈A?x∈B

这指的是事件A发生必导致事件B发生。

（2）事件相等

若A?B且B?A，即A=B，则称事件A与事件B相等。

2. 事件的和

事件A∪B={x|x∈A或x∈B}，称为事件A与事件B的和事件。如图1-2所示。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件A∪B发生。

3. 事件的积

事件A∩B={x|x∈A且x∈B}，称为事件A与事件B的积事件。如图1-3所示。

当且仅当A、B同时发生时，事件A∩B发生。A∩B通常简记为AB。

4. 事件的差

事件A-B={x|x∈A且x?B}，称为事件A与事件B的差事件。如图1-4所示。

当且仅当A发生、B不发生时，事件A-B发生。

5. 互斥事件（互不相容）

若A∩B=?，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。如图1-5所示。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。

6. 对立事件（逆事件）

若A∪B=S且A∩B=?，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。如图1-6所示。这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。A的对立事件记为

7. 事件的运算律

在进行事件运算时，经常要用到下述定律。

设A,B,C为事件，则有

交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A

结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C

A∩（B∩C）=（A∩B）∩C

分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

注　事件的一些关系式如下。

① 设A?B，则AB=A，A∪B=B，A-B=?

②

③

A?（A∪B），B?（A∪B）；

AB?B；

A∪A=A，AA=A

例　设A,B,C表示三个事件，试表示下列事件

（1）A发生，B与C不发生

（2）A与B发生，C不发生

（3）A,B与C都发生

（4）A,B与C至少有一个发生

（5）A,B与C全不发生

（6）A,B与C至少有两个发生

解　（6）AB∪BC∪AC。