1. 几何命题的物理意义

本书大多数读者在学生时代就已经熟悉欧几里得几何学（Euclid's geometry）的宏伟大厦了，你们或许会以一种崇敬胜过喜爱的心情记起这座壮丽的建筑，而那些尽职的教师们曾花费无数时间，督促你们沿着这座建筑的高耸楼梯向上攀登。凭借过去的经验，谁要是质疑这门科学中哪怕是最冷僻的定理的真实性，你必定会投以鄙视的目光。但是假如有人问你：“那么，你凭什么认定这些命题是真的呢？”你的这种骄傲感或许马上就会消失。让我们思考一下这个问题。

几何学从平面、点和直线等概念出发，我们可以将它们与大致上确定的概念联系起来；同时，几何学还从一些简单的命题（公理）出发，由于这些概念，我们倾向于将命题视为“真理”。然后，通过一种我们认为正确的逻辑推理过程，其余的命题都可由这些公理推导出来，也就是说，这些命题已得到证明。于是，只要一个命题是以公认的方法从公理推导得出的，它就是正确的（就是“真实的”）。这样，单一命题是否“真实”的问题就归结为公理是否“真实”的问题。但人们早就知道，上文的问题（如何认定这些命题是真的呢？）不仅无法用几何学的方法来回答，而且问题本身也是完全没有意义的。我们不能问“通过两点只有一条直线是否真实”这样的问题。我们只能说：“欧几里得几何学研究的是‘直线’，每条直线都具有由其上两点决定的性质。”“真实”这一概念与纯粹几何学的观点并不相符，因为我们总习惯将“真实”一词与一个“实在的”客体（object）相对应；可是，几何学并不涉及其中包含的观念与经验客体间的关系，只涉及这些观念本身之间的逻辑联系。

尽管如此，仍不难理解为何我们不得不将这些几何命题称为“真理”。几何概念大体上与自然界中的“精确”（exact）客体相对应，而这些客体是产生几何概念的唯一根源。几何学应避免依循这一途径，以便能使其结构获得最大限度的逻辑一致性。例如，通过查看一个实质刚体（practically rigid body）上两个带记号的位置以决定距离的方法，已经根深蒂固于我们的思考习惯中了。假如我们适当选择观测位置，用一只眼睛观察而能使三个点的视位置相互重合，我们也会习惯认为这三点位于一条直线上。

爱因斯坦的父亲赫尔曼·爱因斯坦（Hermann Einstein）不善经商，但喜爱德国文学，并经常鼓励爱因斯坦在数学上的兴趣。

假如，依照我们的思考习惯，在欧几里得几何学的命题中补充一个命题，即一个实质刚体上的两点永远对应于同一距离（线间距，line-interval），而与我们对刚体位置的任意改变无关，那么欧几里得几何学的命题就归结为实质刚体的所有相对位置的命题。1这样补充后的几何学可被视为物理学的一个分支。现在我们就可以正常地提出通过这种方式诠释的几何命题是否为“真理”这一问题：因为我们有理由问，对那些与我们的几何观念相联系的真实物体而言，这些命题是否可以被满足？用不太精确的措辞来表达，上面这句话可以这样表述：我们将这种意义的几何命题的“真实性”理解为：此命题对于用直尺和圆规作图的有效性。

当然，用这种意义来断定几何命题的“真实性”，只是基于不太完整的经验。不过，我们先假定几何命题的“真实性”，在后文中（在论述广义相对论时）我们将会看到这种“真实性”是有限的，并且将讨论这种有限性的范围。

1　由此推论，一个自然客体也与一条直线相联系。一个刚体上的三个点A、B和C，假如已给定A和C，而B点的选择使得AB和BC之和为最小，则此三点位于一条直线上。这一不完整的提法能够满足我们目前的讨论。