2. 坐标系

根据前文已说明的关于距离的物理解释，我们也能够用度量的方法来确立一个刚体上两点间的距离。为了实现这一目的，我们需要一个可以一直作为度量标准的“距离”（杆S）。现在，假如A和B是一个刚体上的两点，我们可以按照几何学的规则作一条直线连接这两点；然后，以A为起点，一次一次地记取距离S，直到到达B点为止。所需记取的次数就是距离AB的数值度量（numerical measure）。这是一切长度测量的基础。2

描述一起事件（event）发生的地点或一个物体在空间中的位置，都是以能够在一个刚体（参考物体，body of reference）上确定一个与该事件或物体重合的点为依据。这种方式不仅可用于科学描述，也可用于日常生活。假如我来分析“北京天安门广场”3这一位置标记，可以得出以下结论：地球是该位置标记所参照的刚体；“北京天安门广场”是一个明确规定的点，并已被命名，而考虑的事件则在空间中与此点重合。4

这种标记位置的方法只适用于刚体表面的位置，并以刚体表面上存在的可相互区别的各个点为依据。但我们可以摆脱这两种限制，并且不改变位置标记的本质。例如，有一朵云飘浮在北京天安门广场上空，我们可以在北京天安门广场上垂直地竖起一根竿子直达这朵云，以此来确定这朵云相对于地球表面的位置。用标准量杆度量这根竿子的长度，并结合竿子下端的位置标记，我们就可以得到这朵云的完整位置标记。根据这个例子，我们可以看出位置的概念是如何进行改造的：

（a）我们设想将确定位置所参照的刚体进行补充，补充后的刚体延伸至我们需要确定位置的物体。

（b）在确定物体的位置时，我们使用一个数（此处是用量杆量出的竿子长度）而不用选定的参考点（designated points of reference）。

（c）即使没有竖立高达云端的竿子，我们也可以得到云朵的高度。我们从地面上不同的位置以光学方法观测云朵，并考虑光传播的特性，就能够确定原本需要达到云朵的竿子长度。

从以上论述，我们可以看出：假如在描述位置时，我们可以使用数值度量，而不考虑参考刚体上是否存在着（具有名称的）标记位置，那就会更加方便。在物理测量中，可以应用笛卡尔坐标系（Cartesian system of co-ordinates）来达到这个目的。笛卡尔坐标系包含三个相互垂直的平面，它们牢固地附着于一个刚体上。在一个坐标系中，任何事件发生的地点（主要）由从事件发生的地点向这三个平面所作垂线的长度或坐标（x、y、z）来确定。这三条垂线的长度，可以按照欧几里得几何学确立的规则和方法，用刚性量杆经过一系列操作来进行确定。事实上，构成坐标系的刚性平面一般并不存在；此外，坐标的大小实际上不是用刚性量杆的结构，而是用间接的方法来进行确定。假如要获得清晰的物理学和天文学结果，就必须始终按照上述论述来寻求位置标记的物理意义。5

1889年，慕尼黑鲁伊特波尔德中学学生合影，52个男生中只有爱因斯坦（第一排右三）露出了一丝笑容。

于是，我们得出以下结论：对事件在空间中的位置所进行的每一种描述，都必须使这些事件参照一个刚体，得出的关系是以假定欧几里得几何学的定理适用于“距离”为依据，“距离”在物理上按惯例表示为一个刚体上的两个标记。

2　此处我们假设没有任何剩余部分，即量度的结果取整数。我们可以用具有分刻度的量杆（divided measuring-rod）来克服这一困难，引进这种量杆并不需要对量度方法做任何根本性的改变。