3.1 变质量力学基本原理

当研究火箭的运动时，在每一瞬间，只将该瞬间位于“规定”表面以内的质点作为它的组成。这一“规定”表面，通常取火箭的外表面和喷管的出口断面。发动机工作时，燃料燃烧后的气体质点不断地由火箭内部喷出，火箭质量不断减少，因此，整个火箭运动过程是一变质量系。实际上，火箭质量变化原因除燃料消耗外，还有控制发动机系统及冷却工作时的工质消耗影响等，这些都使火箭整体不是一个定质点系。这样，动力学的经典理论就不能直接用来研究火箭的运动，因而有必要介绍变质量系运动的基本力学原理。

3.1.1 变质量质点的基本方程

设有一质量随时间变化的质点，其质点在t时刻为m（t），并具有绝对速度V，此时该质点的动量为

在时间dt内，由外界作用在系统质点上的力F，且质点M向外以相对速度V_r喷射出元质量-dm，如图3.1-1所示。显然有

图3.1-1 变质量质点示意图

假设在dt时间内质点m（t+dt）具有的速度增量为dV，那么在t+dt时刻，整个质点的动量应为

略去dmdV项，则

比较式（3.1-1）和式（3.1-4），可得整个质点在dt时间内的动量变化量：

根据常质量质点动量定理有

式中，F为外界作用在整个质点上的力。

即有

该方程称为密歇尔斯基方程，即变质量质点基本方程。对于不变质量质点，，则式（3.1-7）可变为如下形式：

如果将式（3.1-7）中具有力的因次项视为作用在质点M上的力，记为P_r。则可将式（3.1-7）写成如下形式：

式中，P_r为喷射反作用力。

对于物体而言，，故喷射反作用力的方向与V_r方向相反，是一个加速度力。

由上可知，物体产生运动状态的变化，除外界作用力外，还可通过物体本身向所需运动反方向喷射而获得加速度，这称为直接反作用原理。

根据密歇尔斯基方程，如果质点不受外力作用，则有

如设V与V_r正好反向，则有以下标量形式

即

当喷射元质量的速度V_r为定值，对上式积分可得

式中，V₀、m₀为起始时刻质点所具有的速度和质量；m₀为物体结构质量m_k与全部可喷射质量m_T之和。

如初始速度V₀=0，在m_T全部喷射完时，物体具有的速度为

上式为著名的齐奥尔柯夫斯基公式。用该公式计算出的速度为理想速度。

该式说明，物体不受外力作用时，变质量质点在给定的m₀中，喷射物质占有的质量m_T越多或喷射物质质量一定，但喷射元质量的速度V_r越大，则质点的理想速度就越大。

3.1.2 变质量质点系的质心运动方程和绕质心转动方程

当组成物体为变质量质点系，其中除有一些质点随物体作牵连运动外，在物体内部还有相对运动，这对物体的运动也是有影响的。此外，如对该物体运用密歇尔斯基方程来建立运动方程，则存在近似性，因此必须对变质量质点系进行专门讨论。

前面关于理论力学的内容，已介绍了离散质点系的动力学方程。即，在惯性系O-XYZ中，有一质点系S，该质点系由N个质点组成，离散质点m_i在惯性坐标系中的矢径为r_i，外界作用于系统S上的总外力为F_S，则系统S的平动方程及转动方程分别为

现在要研究连续质系（即物体）的运动方程，则将物体考虑成无穷个具有无穷小质量的质点组成的系统。在这种情况下，式（3.1-12）和式（3.1-13）中的求和符号可用积分符号来代替，于是有

上两式中虽只有一个积分符号，实质上，对于一个三维系统，该积分为三重积分。这是因为dm可以写成ρdV，其中的ρ为质量密度，dV为体积元。故将该体积元以表示。

1.连续质系S的质量运动方程

设系统S对惯性坐标系有转动速度ω_T，而系统S中的任一质点元p在惯性坐标系中的矢径r可以为系统S质心的矢径r_c，m与质心到质点元p的矢量ρ之和，如图3.1-2所示，有

图3.1-2 质点系矢量关系

利用理论力学中加速度合成定理可得p点的绝对加速度为

由于ρ表示系统S的质点到质心的矢径，根据质心的定义有。因此，将式（3.1-17）代入式（3.1-14）后，有

式（3.1-18）为适用于任意变质量物体的一般运动方程，从而可得任意变质量物体的质心运动方程为

式中

、分别称为系统S的附加哥氏力和附加相对力。

2.连续质系S的转动方程

由式（3.1-15）不难写出变质量质点系S在力F下所产生的绕惯性坐标系原点O和绕系统S质心的力矩方程

考虑到以后研究火箭在空中的姿态变化是以绕质心的转动来进行的，因此下面对式（3.1-21）进行讨论。

将式（3.1-17）代入式（3.1-21），则力矩方程可写为

注意到r_c，m与质量dm无关，且按质心的定义有=0，故上式简化为

上式为适用于任意变质量物体的绕质心的一般转动方程。据此可写成另一种形式，首先将上式移项写为

式中

、分别为系统S的附加哥氏力矩和附加相对力矩。

式（3.1-23）左端的第一项，根据矢量叉积运算法则可得

记

该式是将系统视为刚体后，该刚体对质心的总角动量。

现将变质量物体的质心作为原点o₁，建立一个与该物体固连的任意直角坐标系o₁-xyz，并设有

则由矢量运算公式得

定义

式中，I_xx、I_yy、I_zz为转动惯量；其余为惯量积。

为书写方便，可将式（3.1-26）写为

式中

为惯量张量。

将式（3.1-28）代入式（3.1-24）可得

同理，可将式（3.1-23）之左侧第二项写为

最终可将式（3.1-23）写为

显然，式（3.1-32）左端是惯性力矩。

式（3.1-19）和式（3.1-32）是变质量物体的一般的质心运动方程和绕质心运动方程，形式上与适用于刚体的方程式相同。因此，可引进一条重要的原理，即刚化原理，现叙述如下：

在一般情况下，任意一个变质量系统在瞬时t的质心运动方程和绕质心运动方程，能用如下这样一个刚体的相应方程来表示：这个刚体的质量等于系统在瞬时t的质量，而它受的力除了真实的外力和力矩外，还要加两个附加力和力矩，即附加哥氏力、附加相对力和附加哥氏力矩、附加相对力矩。